ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 450

План решения:

Чтобы доказать чётность выражений, зависящих от переменных x и y, воспользуемся определением чётного числа. Любое чётное число можно представить в виде удвоенного целого числа. Пусть x=2k, а y=2m, где k и m — некоторые целые числа. Нам нужно подставить эти представления в каждое из заданных выражений (а, б, в) и показать, что результат также делится на 2 без остатка.

Вычисление и доказательства по пунктам:

• а) Разность x-y

Подставим выражения для x и y: x-y=2k-2m Вынесем общий множитель 2 за скобки: x-y=2(k-m) Так как k и m — целые числа, то их разность (k-m) также является целым числом. Обозначим это целое число через n. Тогда x-y=2n. По определению, произведение 2 на любое целое число есть чётное число. Следовательно, разность x-y — чётная.

• б) Произведение xy

Подставим выражения для x и y: xy=(2k)·(2m) Перемножим коэффициенты и переменные: xy=4km=2(2km) Так как k и m — целые числа, то произведение 2km также является целым числом. Обозначим его через p. Тогда xy=2p. Это означает, что произведение xy делится на 2 без остатка, то есть оно является чётным числом.

• в) Выражение 3x+y

Подставим выражения для x и y: 3x+y=3(2k)+2m Раскроем скобки: 3x+y=6k+2m Вынесем общий множитель 2 за скобки: 3x+y=2(3k+m) Сумма 3k+m представляет собой целое число, так как k и m — целые. Обозначим эту сумму через q. Тогда 3x+y=2q. Поскольку выражение представлено в виде удвоенного целого числа, оно является чётным.

Проверка:

В каждом пункте мы получили выражение вида 2·(целое число). Это полностью соответствует определению чётного числа. Логика рассуждений верна: свойства делимости сохраняются при сложении, вычитании и умножении чётных чисел. Таким образом, утверждения доказаны.