ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 449: дроби
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Надежда Фомина, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Даны рациональные числа a и b. Нужно определить, будет ли результатом рациональным числом
а) сумма a+b
б) разность a-b
в) произведение ab
г) частное a/b (при условии b≠0).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В этой задаче нам нужно вспомнить основные свойства множества рациональных чисел. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби m/n, где m и n — целые числа, причём n≠0. Обозначим множество всех рациональных чисел как Q. Нам даны два числа a∈Q и b∈Q. Проверим по очереди каждое арифметическое действие.
а) Сумма a+b
Так как a и b рациональны, их можно записать как a=m1/n1 и b=m2/n2. При сложении дробей мы приводим их к общему знаменателю: a+b=m1n2+m2n1/n1n2 Числитель является суммой произведений целых чисел, значит, он тоже целый. Знаменатель — произведение ненулевых целых чисел, значит, он целый и не равен нулю. Следовательно, сумма двух рациональных чисел всегда является рациональным числом .
б) Разность a-b
Разность можно рассматривать как сумму a+(-b). Так как b рационально, то и противоположное ему число -b также рационально (если b=m/n, то -b=-m/n). Из пункта (а) мы уже знаем, что сумма двух рациональных чисел рациональна. Значит, разность a-b всегда является рациональным числом .
в) Произведение ab
Умножим две дроби: ab=m1/n1·m2/n2=m1m2/n1n2 Произведение целых чисел m1m2 есть целое число. Произведение ненулевых целых чисел n1n2 есть ненулевое целое число. Таким образом, результат представляет собой правильную или неправильную дробь с целыми членами. Следовательно, произведение двух рациональных чисел всегда является рациональным числом .
г) Частное a/b при b≠0
Деление на число b равносильно умножению на обратное число 1/b. Если b=m2/n2 и b≠0, то m2≠0. Обратное число будет n2/m2. Тогда: a/b=a·1/b=m1/n1·n2/m2=m1n2/n1m2 Числитель и знаменатель являются целыми числами, причём знаменатель n1m2 не равен нулю (так как n1≠0 и m2≠0). Следовательно, частное двух рациональных чисел (при условии, что делитель не равен нулю) всегда является рациональным числом .
Проверка: Эти выводы подтверждают замкнутость множества рациональных чисел относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль). Это фундаментальное свойство поля рациональных чисел.
а) да
б) да
в) да
г) да
Задача проверяет знание свойств замкнутости множества рациональных чисел относительно основных арифметических действий. Решение строится на представлении рациональных чисел в виде дробей и анализе структуры результата после выполнения операции.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 449 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 449?
Краткий ответ: а) да; б) да; в) да; г) да.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные упражнения к главе II. К параграфу 4.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.