ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 445: Применение свойств арифметического квадратного корня
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Мария Волкова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Упростить выражение
а) \sqrt{(b+12 - \sqrt{b})-(b+1/2+b), при условии b≥1
б) \sqrt{(c+44 + \sqrt{c})-(c+4/4-c), при условии c≥4.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для упрощения выражений вида A-B или A+B удобно возвести всё выражение в квадрат. Это позволит избавиться от внешних корней и свести задачу к упрощению подкоренных выражений. После нахождения квадрата исходного выражения нужно извлечь корень, учитывая знак результата на основе заданных условий (b≥1 и c≥4).
а) Упрощение выражения b+1/2-b-b+1/2+b
Обозначим данное выражение через x. Возведём его в квадрат:
x2=(b+1/2-b-b+1/2+b)2Используем формулу сокращённого умножения (a-b)2=a2-2ab+b2, где a=b+1/2-b и bvar=b+1/2+b (чтобы не путать с переменной b, будем внимательны со скобками):
x2=(b+1/2-b)-2(b+1/2-b)(b+1/2+b)+(b+1/2+b)Сгруппируем слагаемые вне знака корня:
b+1/2-b+b+1/2+b=b+1Теперь упростим произведение под знаком корня по формуле разности квадратов (m-n)(m+n)=m2-n2:
(b+1/2)2-(b)2=(b+1)2/4-b=b2+2b+1-4b/4=b2-2b+1/4=(b-1)2/4Подставим это обратно в выражение для x2:
x2=(b+1)-2(b-1)2/4=b+1-2·|b-1|/2=b+1-|b-1|По условию задачи b≥1, следовательно, b-1≥0, и модуль раскрывается как |b-1|=b-1.
x2=b+1-(b-1)=b+1-b+1=2Таким образом, x2=2, откуда x=±2.
Определение знака:
Вернёмся к исходному выражению: x=b+1/2-b-b+1/2+b. Сравним подкоренные выражения. Так как b>0 при b≥1, то вычитание положительного числа даёт меньший результат, чем сложение: b+1/2-b<b+1/2+b Следовательно, первое слагаемое меньше второго, и их разность отрицательна: x<0. Значит, выбираем отрицательный корень: x=-2.
б) Упрощение выражения c+4/4+c-c+4/4-c
Обозначим данное выражение через y. Возведём его в квадрат:
y2=(c+4/4+c-c+4/4-c)2Аналогично пункту а), используем формулу (a-b)2=a2-2ab+b2:
y2=(c+4/4+c)-2(c+4/4+c)(c+4/4-c)+(c+4/4-c)Сумма слагаемых вне корня:
c+4/4+c+c+4/4-c=2(c+4)/4=c+4/2Произведение под корнем (разность квадратов):
(c+4/4)2-(c)2=(c+4)2/16-c=c2+8c+16-16c/16=c2-8c+16/16=(c-4)2/16Извлекаем корень из полученной дроби:
(c-4)2/16=|c-4|/4Подставляем в выражение для y2:
y2=c+4/2-2·|c-4|/4=c+4/2-|c-4|/2=c+4-|c-4|/2По условию задачи c≥4, следовательно, c-4≥0, и |c-4|=c-4.
y2=c+4-(c-4)/2=c+4-c+4/2=8/2=4Таким образом, y2=4, откуда y=±2.
Определение знака:
В исходном выражении y=c+4/4+c-c+4/4-c. Так как c≥0 (при c≥4), то первое подкоренное выражение больше второго: c+4/4+c>c+4/4-c Следовательно, уменьшаемое больше вычитаемого, и разность положительна: y>0. Значит, y=2.
а) -2
б) 2
Ключ совпадает с полученными ответами. В пункте а) важно обратить внимание на знак разности: так как вычитается больший корень, результат отрицательный. В пункте б) наоборот, вычитается меньший корень, результат положительный.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 445 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 445?
Краткий ответ: а) -√2; б) 2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 6. Применение свойств арифметического квадратного корня.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.