ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 451

План решения:

Чтобы определить чётность результатов арифметических операций над нечётными числами x и y, воспользуемся их алгебраической записью. Любое нечётное число можно представить в виде 2k+1, где k — целое число. Обозначим x=2m+1 и y=2n+1, где m и n — некоторые целые числа. Далее подставим эти выражения в формулы для суммы, разности и произведения, упростим полученные выражения и проанализируем результат на наличие множителя 2.

Вычисление:

а) Рассмотрим сумму x+y. Подставим представления через m и n: x+y=(2m+1)+(2n+1)=2m+2n+2 Вынесем общий множитель 2 за скобки: x+y=2(m+n+1) Так как m и n — целые числа, то выражение (m+n+1) также является целым числом. Следовательно, сумма делится на 2 без остатка, то есть она чётная .

б) Рассмотрим разность x-y. Аналогично подставим выражения: x-y=(2m+1)-(2n+1)=2m+1-2n-1=2m-2n Вынесем множитель 2: x-y=2(m-n) Разность целых чисел (m-n) является целым числом. Значит, результат делится на 2, то есть разность чётная .

в) Рассмотрим произведение xy. Умножим два нечётных числа: xy=(2m+1)(2n+1)=4mn+2m+2n+1 Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель 2: xy=2(2mn+m+n)+1 Выражение в скобках (2mn+m+n) — это целое число. Пусть оно равно k. Тогда xy=2k+1. По определению, число вида 2k+1 является нечётным .

Проверка:

Приведём простой числовой пример. Пусть x=3 и y=5 (оба числа нечётные). а) Сумма: 3+5=8. Число 8 чётное. б) Разность: 3-5=-2. Число -2 чётное. в) Произведение: 3·5=15. Число 15 нечётное. Результаты проверки совпадают с выводами, полученными алгебраическим методом.