ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 455

В этой задаче нам нужно определить тип числа (рациональное или иррациональное) для результатов арифметических действий с рациональным числом a и иррациональным числом b. Вспомним основные свойства: сумма или разность двух рациональных чисел всегда рациональна, а произведение ненулевого рационального числа на иррациональное — иррационально. Однако здесь у нас смешанный случай.

Разберем пункт а) : сумма a+b. Предположим обратное: пусть результат c=a+b является рациональным числом. Тогда мы можем выразить b через c и a: b=c-a. Поскольку c и a по нашему предположению и условию являются рациональными числами, их разность также должна быть рациональным числом. Но это противоречит тому, что b — иррациональное число. Следовательно, наше предположение неверно, и сумма a+b не может быть рациональной. Значит, a+b — иррациональное число.

Теперь рассмотрим пункт б) : разность a-b. Аналогично предыдущему пункту, предположим, что результат d=a-b является рациональным числом. Выразим b: b=a-d. Здесь a — рациональное число (по условию), а d — рациональное число (по нашему предположению). Разность двух рациональных чисел всегда рациональна, значит, b должно быть рациональным числом. Это снова приводит к противоречию с условием задачи, так как b дано как иррациональное. Следовательно, разность a-b также является иррациональным числом.