ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 47: Рациональные дроби и их свойства
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Юлия Громова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Задача-исследование. Верно ли, что при всех значениях a, отличных от -2 и 2, значение дроби (a2-4)/(12+a2-a4) является отрицательным числом?
а) Выберите произвольное значение a, отличное от -2 и 2, и сравните с нулём соответствующее значение дроби.
б) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи.
в) Выполните это преобразование и сделайте вывод.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для исследования знака рациональной дроби необходимо упростить её выражение. Мы разложим числитель и знаменатель на множители, сократим общие факторы и проанализируем оставшееся выражение с учётом области допустимых значений (ОДЗ).
Вычисление:
1) Выбор произвольного значения. Возьмём a=0. Это значение не равно -2 и не равно 2, поэтому оно входит в ОДЗ. Подставим в исходную дробь: 02-4/12+02-04=-4/12=-1/3 Число -1/3 меньше нуля. В данном частном случае утверждение верно.
2) Преобразование дроби. Чтобы сделать вывод для всех допустимых a, преобразуем алгебраическое выражение. Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: a2-4=(a-2)(a+2). Знаменатель: 12+a2-a4. Перепишем его как -(a4-a2-12). Обозначим t=a2, тогда квадратный трёхчлен t2-t-12 раскладывается по теореме Виета на (t-4)(t+3). Возвращаясь к a, получаем: -(a2-4)(a2+3)=-(a-2)(a+2)(a2+3).
Теперь подставим разложения в дробь и сократим:
(a-2)(a+2)/-(a-2)(a+2)(a2+3)=1/-(a2+3)=-1/a2+3 Сокращение возможно, так как по условию a≠2 и a≠-2, следовательно, множители (a-2) и (a+2) не равны нулю.3) Анализ результата. Рассмотрим полученное выражение -1/a2+3. Так как a2≥0 при любом действительном a, то a2+3≥3>0. Значит, знаменатель всегда положителен. Дробь 1/a2+3 всегда положительна. Перед ней стоит знак минус, поэтому всё выражение всегда отрицательно.
Проверка и вывод:
Мы показали, что после упрощения дробь принимает вид -1/a2+3. Так как a2+3 всегда больше нуля, то значение дроби всегда меньше нуля для любых a, кроме исключённых из ОДЗ (a≠±2). Таким образом, гипотеза верна.
Да, верно.
Задача требует доказательства через алгебраические преобразования. Ключевой момент — правильный расклад знаменателя 12+a2-a4 на множители -(a2-4)(a2+3). После сокращения остаётся выражение, знак которого легко определить.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 47 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 47?
Краткий ответ: Да, верно.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 1. Рациональные дроби и их свойства.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.