ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 48: Рациональные дроби и их свойства

Чтобы доказать, что значение дроби не зависит от n, нужно упростить выражение, вынеся общие множители за скобки в числителе и знаменателе. В обоих пунктах будем использовать свойства степеней: a^m+k=a^m·a^k.

а) Рассмотрим дробь 3ⁿ⁺²-3ⁿ/3ⁿ⁺²+3ⁿ⁺¹+3ⁿ.

1. В числителе вынесем общий множитель 3ⁿ:
   3ⁿ⁺²-3ⁿ=3ⁿ(3²-1)=3ⁿ(9-1)=8·3ⁿ.
2. В знаменателе также вынесем общий множитель 3ⁿ:
   3ⁿ⁺²+3ⁿ⁺¹+3ⁿ=3ⁿ(3²+3¹+1)=3ⁿ(9+3+1)=13·3ⁿ.
3. Подставим полученные выражения обратно в дробь и сократим на 3ⁿ (так как 3ⁿ≠0):
   8·3ⁿ/13·3ⁿ=8/13.

Полученное число 8/13 является константой и не содержит переменной n. Следовательно, значение дроби не зависит от n.

б) Рассмотрим дробь 16ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺⁴/4·2ⁿ(2³ⁿ-1).

1. Преобразуем степени с основанием 16 к основанию 2, так как 16=2⁴. Тогда 16ⁿ⁺¹=(2⁴)ⁿ⁺¹=2⁴⁽ⁿ⁺¹⁾=2⁴ⁿ⁺⁴.
2. Упростим числитель, вынеся общий множитель 2ⁿ⁺⁴? Нет, удобнее привести все к одной степени или разложить на множители. Давайте преобразуем числитель полностью через степень двойки:
   Числитель: 2⁴ⁿ⁺⁴-2ⁿ⁺⁴. Вынесем наименьшую степень 2ⁿ⁺⁴:
   2ⁿ⁺⁴(2^(4n+4)-(n+4)-1)=2ⁿ⁺⁴(2³ⁿ-1).
3. Теперь посмотрим на знаменатель: 4·2ⁿ(2³ⁿ-1).
   Заметим, что 4=2², поэтому 4·2ⁿ=2²·2ⁿ=2ⁿ⁺².
   Знаменатель принимает вид: 2ⁿ⁺²(2³ⁿ-1).
4. Запишем исходную дробь с упрощенными частями:
   2ⁿ⁺⁴(2³ⁿ-1)/2ⁿ⁺²(2³ⁿ-1).
5. Сократим общую часть (2³ⁿ-1) (при условии, что она не равна нулю, то есть n≥1) и степени двойки:
   2ⁿ⁺⁴/2ⁿ⁺²=2^(n+4)-(n+2)=2²=4.

Результат равен 4. Это число не зависит от значения натурального числа n.