ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 481: корни

План решения:

Для выполнения задания-исследования мы сначала проверим гипотезу на конкретных примерах (пункт 1). Затем перейдем к алгебраическим преобразованиям: сгруппируем множители так, чтобы раскрыть скобки и получить полный квадрат (пункт 2). Наконец, упростим выражение под знаком корня и сделаем общий вывод для любого натурального n (пункт 3).

Вычисление:

1) Проверка на произвольном значении.

Пусть n=1. Подставим в выражение (n+1)(n+2)(n+3)+1: (1+1)(1+2)(1+3)+1=2·3·4+1=24+1=25=5 Результат 5 является натуральным числом. Гипотеза верна для этого случая.

Пусть n=2: (2+1)(2+2)(2+3)+1=3·4·5+1=60+1=61 Здесь получилось нецелое число. Внимание! Внимательно перечитаем условие задачи. Обычно в таких задачах подразумевается произведение четырех последовательных чисел или специфическая группировка. Однако в условии записано (n+1)(n+2)(n+3)+1. Это три множителя. Давайте проверим пункт 2 инструкции: «Сгруппировать множители в произведении n(n+1)(n+2)(n+3)». Видимо, в условии опечатка или неявно подразумевается, что нужно рассмотреть выражение вида n(n+1)(n+2)(n+3)+1, либо же инструкция по группировке относится к классической задаче про четыре числа.

Если строго следовать тексту условия «корень из (n+1)(n+2)(n+3)+1», то ответ «нет» (как показал случай n=2). Но пункт 2 говорит о произведении n(n+1)(n+2)(n+3). Скорее всего, в условии учебника имелось в виду выражение n(n+1)(n+2)(n+3)+1. Решим задачу для этого стандартного варианта, так как иначе пункт 2 невыполним логически. Если же оставить исходное условие без n, то группировка невозможна. Предположим, что речь идет об известной тождественности для четырех последовательных чисел.

2) Алгебраические преобразования (для выражения n(n+1)(n+2)(n+3)+1).

Рассмотрим подкоренное выражение A=n(n+1)(n+2)(n+3)+1. Сгруппируем множители следующим образом: первые с последними, вторые с третьими: A=[n(n+3)]·[(n+1)(n+2)]+1 Раскроем скобки внутри каждой группы: n(n+3)=n²+3n (n+1)(n+2)=n²+3n+2 Теперь подставим обратно в A: A=(n²+3n)(n²+3n+2)+1 Введем замену переменной для удобства. Пусть x=n²+3n. Тогда: A=x(x+2)+1=x²+2x+1 Мы получили формулу квадрата суммы: x²+2x+1=(x+1)² Вернемся к переменной n: A=(n²+3n+1)²

3) Итоговый ответ.

Теперь найдем значение корня: A=(n²+3n+1)²=|n²+3n+1| Так как n — натуральное число (n≥1), то n²+3n+1>0. Следовательно, модуль можно снять: n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n²+3n+1 Так как n — целое число, то n²+3n+1 также является целым положительным числом, то есть натуральным.

Проверка:

Проверим полученную формулу n²+3n+1 на примере n=1: 1²+3(1)+1=1+3+1=5 Это совпадает с результатом прямого вычисления в пункте 1 (25=5). Проверим на примере n=2 (для исправленного выражения с четырьмя множителями): 2·3·4·5+1=120+1=121=11 По формуле: 2²+3(2)+1=4+6+1=11. Совпадение подтверждает правильность вывода.