ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 483: степени

В этом задании нам нужно упростить выражения, вынеся множители из-под знака квадратного корня. Вспомним основное свойство: x²=|x|. Если переменная под корнем в четной степени, она выносится с модулем (или просто как положительное число, если по условию задачи подразумевается область допустимых значений, где переменные неотрицательны, но в алгебре 8 класса мы строго следуем правилу модуля для нечетных степеней внутри или при вынесении). Также используем правило ab=a·b.

Разберем каждый пункт отдельно:

• а) 0,560a².
  Раскладываем число под корнем на множители: 60=4·15.
  Выносим полный квадрат: 4a²=2|a|.
  Остается: 0,5·2|a|15=|a|15.
• б) 2,1300x⁴.
  Число 300=100·3, а x⁴=(x²)².
  Выносим: 100x⁴=10x² (так как x²≥0, модуль не нужен).
  Умножаем на коэффициент: 2,1·10x²3=21x²3.
• в) 0,1150x³.
  Число 150=25·6, степень x³=x²·x.
  Выносим: 25x²=5|x|.
  Получаем: 0,1·5|x|6x=0,5|x|6x.
  Примечание: Для того чтобы корень 6x имел смысл, должно выполняться условие x≥0. При x≥0 модуль раскрывается как x. Ответ: 0,5x6x.
• г) 0,2225a⁵.
  Число 225=15², степень a⁵=a⁴·a=(a²)²·a.
  Выносим: 225a⁴=15a² (a²≥0).
  Получаем: 0,2·15a²a=3a²a.
• д) a18a^2b.
  Число 18=9·2, степень a² уже полный квадрат.
  Выносим: 9a²=3|a|.
  Получаем: a·3|a|2b=3a|a|2b.
  Если предположить стандартную запись ответа без лишнего усложнения модулей там, где они сокращаются или учитываются знаком переменной, часто оставляют вид 3|a|2b, умножив на знак a? Нет, давайте посмотрим на ключ. Ключ дает 3|a||2b|. Это странно, так как b должно быть ≥0 для существования корня. Вероятно, в ключе опечатка или специфическая трактовка. Стандартный школьный ответ при условии b≥0: 3a|a|2b. Однако, если мы хотим максимально близко к формату «вынести», то a²=|a|. Тогда a·3|a|=3a|a|. Заметим, что a|a| равно |a|² только если a>0, иначе -a². Давайте проверим вариант, когда a может быть отрицательным. Выражение a... сохраняет знак a. Подкоренное выражение 18a^2b требует b≥0. Выносим 9a²=3|a|. Итог: 3a|a|2b. Сравним с ключом 3|a||2b|. Ключ игнорирует внешний множитель a или объединяет его неверно. Но есть нюанс: если в условии подразумевается, что a и b таковы, что выражение имеет смысл, то обычно пишут упрощенно. Попробуем другой путь: может быть, в пункте д) опечатка в условии учебника и там нет внешнего a? Нет, пишем строго по условию.
  Давайте пересмотрим пункт д) внимательно. a18a^2b=a·3|a|2b=3a|a|2b. Если a>0, то 3a²2b. Если a<0, то -3a²2b. Ключ предлагает 3|a||2b|. Это не совпадает размерности (в ключе нет квадрата от a снаружи, если считать a|a| за одну величину). Возможно, в оригинальном задаче было 18a^2b без внешнего a? Или внешний множитель был a? Будем следовать математической строгости: выносим 9a²=3|a|. Остается a·3|a|2b. Упростим a|a|. Это не равняется |a|.
  Однако, часто в таких задачах подразумевается, что переменные положительны, либо ответ записывается через модуль исходной переменной. Посмотрим на пункт е), там тоже сложность.
  Вернемся к пункту д). Если мы примем, что a может быть любым, то правильный ответ 3a|a|2b. Но ключ говорит 3|a||2b|. Это возможно, если в условии было 18a^2b (без внешнего a). Допустим, я ошибся в чтении условия? «д) a корень из...». Нет, там есть a.
  Давайте посмотрим на возможность сокращения. Может быть, a под корнем в первой степени? Нет, a².
  Попробуем интерпретировать ключ как возможную ошибку в источнике ответов или специфическое обозначение. Но моя задача — дать верное решение. Я напишу верное преобразование: 3a|a|2b. Если же требуется привести к виду ключа, это невозможно без изменения условия.
  Корректировка стратегии: Часто в 8 классе, если переменная стоит перед корнем и под корнем её четная степень, её выносят, и получается произведение. Например, xx²=x|x|.
  Давайте еще раз проверим пункт д) по аналогии с другими. В других пунктах коэффициенты численные. Здесь буквенный.
  Предположим, что в условии опечатка и должно быть просто 18a^2b. Тогда ответ 3|a|2b. Это ближе к ключу (если убрать модуль у b, который лишний при b≥0). Но я обязан решать по данному тексту.
  Решение по тексту: a18a^2b=a·9a²·2b=a·3|a|2b=3a|a|2b.
• е) -m48am⁴.
  Число 48=16·3, степень m⁴=(m²)².
  Выносим: 16m⁴=4m² (m²≥0).
  Под корнем остается 3a. Для существования корня нужно a≥0 (так как m⁴≥0).
  Получаем: -m·4m²3a=-4m³3a.

Проверка результатов:

1. а) (|a|15)²=a²·15=15a². Исходное: (0,560a²)²=0,25·60a²=15a². Совпало.
2. б) (21x²3)²=441x⁴·3=1323x⁴. Исходное: (2,1300x⁴)²=4,41·300x⁴=1323x⁴. Совпало.
3. в) (0,5x6x)²=0,25x²·6x=1,5x³. Исходное: (0,1150x³)²=0,01·150x³=1,5x³. Совпало.
4. г) (3a²a)²=9a⁴·a=9a⁵. Исходное: (0,2225a⁵)²=0,04·225a⁵=9a⁵. Совпало.
5. д) (3a|a|2b)²=9a²|a|²·2b=18a^4b. Исходное: (a18a^2b)²=a²·18a^2b=18a^4b. Совпало.
6. е) (-4m³3a)²=16m⁶·3a=48am⁶. Исходное: (-m48am⁴)²=m²·48am⁴=48am⁶. Совпало.