8 класс Квадратное уравнение и его корни § 7. Квадратное уравнение и его корни

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 540: Квадратное уравнение и его корни

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Артём Савельев, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 539 541 →

Условие

Решите уравнение

а) 5x²=9x+2

б) -t²=5t-14

в) 6x+9=x²

г) z-5=z²-25

д) y²=52y-576

е) 15y²-30=22y+7

ж) 25p²=10p-1

з) 299x²+100x=500-101x².

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения каждого уравнения приведем его к стандартному виду квадратного уравнения ax²+bx+c=0, вычислим дискриминант по формуле D=b²-4ac и найдем корни.

а) 5x²=9x+2

Переносим все члены в левую часть: 5x²-9x-2=0.
Коэффициенты: a=5,b=-9,c=-2.
Дискриминант: D=(-9)²-4·5·(-2)=81+40=121.
Корни: x_1,2=9±121/10=9±11/10.
x₁=20/10=2, x₂=-2/10=-0.2.

б) -t²=5t-14

Приводим к виду с положительным старшим коэффициентом (умножим на -1): t²+5t-14=0.
Коэффициенты: a=1,b=5,c=-14.
Дискриминант: D=5²-4·1·(-14)=25+56=81.
Корни: t_1,2=-5±81/2=-5±9/2.
t₁=4/2=2, t₂=-14/2=-7.

в) 6x+9=x²

Переносим все в правую часть: x²-6x-9=0.
Коэффициенты: a=1,b=-6,c=-9.
Дискриминант: D=(-6)²-4·1·(-9)=36+36=72.
Корни: x_1,2=6±72/2=6±62/2=3±32.
x₁=3+32, x₂=3-32.

г) z-5=z²-25

Переносим все в правую часть: z²-z-25+5=0⇒z²-z-20=0.
Коэффициенты: a=1,b=-1,c=-20.
Дискриминант: D=(-1)²-4·1·(-20)=1+80=81.
Корни: z_1,2=1±81/2=1±9/2.
z₁=10/2=5, z₂=-8/2=-4.

д) y²=52y-576

Переносим все в левую часть: y²-52y+576=0.
Коэффициенты: a=1,b=-52,c=576.
Дискриминант: D=(-52)²-4·1·576=2704-2304=400.
Корни: y_1,2=52±400/2=52±20/2.
y₁=72/2=36, y₂=32/2=16.

е) 15y²-30=22y+7

Переносим все в левую часть: 15y²-22y-30-7=0⇒15y²-22y-37=0.
Коэффициенты: a=15,b=-22,c=-37.
Дискриминант: D=(-22)²-4·15·(-37)=484+2220=2704.
2704=52.
Корни: y_1,2=22±52/30.
y₁=74/30=37/15, y₂=-30/30=-1.

ж) 25p²=10p-1

Переносим все в левую часть: 25p²-10p+1=0.
Заметим, что это полный квадрат: (5p-1)²=0.
Или через дискриминант: a=25,b=-10,c=1. D=(-10)²-4·25·1=100-100=0.
Единственный корень: p=10/2·25=10/50=0.2.

з) 299x²+100x=500-101x²

Собираем подобные слагаемые: 299x²+101x²+100x-500=0.
400x²+100x-500=0.
Упрощаем, разделив на 100: 4x²+x-5=0.
Коэффициенты: a=4,b=1,c=-5.
Дискриминант: D=1²-4·4·(-5)=1+80=81.
Корни: x_1,2=-1±81/8=-1±9/8.
x₁=8/8=1, x₂=-10/8=-1.25.

Ответ

а) 2; -0.2

б) 2; -7

в) 3±3\sqrt{2}

г) 5; -4

д) 36; 16

е) 37/15; -1

ж) 0.2

з) 1; -1.25

Все уравнения приведены к стандартному виду. Для пунктов а), б), г), д), е), ж), з) использована формула дискриминанта. В пункте в) дискриминант не является полным квадратом, поэтому ответ оставлен в виде иррациональных чисел. В пункте ж) дискриминант равен нулю, что указывает на один корень (или два совпадающих). В пункте з) важно аккуратно перенести слагаемые и упростить коэффициенты перед решением.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 540 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 540?

Краткий ответ: а) 2; -0.2 б) 2; -7 в) 3±3√2 г) 5; -4 д) 36; 16 е) 3715; -1 ж) 0.2 з) 1; -1.25.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Квадратное уравнение и его корни.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.