8 класс Квадратное уравнение и его корни § 7. Квадратное уравнение и его корни

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 543: Квадратное уравнение и его корни

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Илья Морозов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 542 544 →

Условие

Решите уравнение

а) (x+4)²=3x+40

б) (2p-3)²=11p-19

в) 3(x+4)²=10x+32

г) 15y²+17=15(y+1)²

д) (x+1)²=7918-2x

е) (m+2)²=3131-2m

ж) (x+1)²=(2x-1)²

з) (n-2)²+48=(2-3n)².

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности. Наша цель — привести их к стандартному виду квадратного уравнения ax²+bx+c=0 или использовать свойства равенства квадратов.

а) (x+4)²=3x+40

Раскроем скобки в левой части: x²+8x+16=3x+40.
Перенесем все слагаемые в левую часть: x²+8x-3x+16-40=0.
Упростим: x²+5x-24=0.
Найдем корни через дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета сумма корней равна -5, произведение -24. Это числа 3 и -8.
Ответ: x₁=3,x₂=-8.

б) (2p-3)²=11p-19

Раскроем скобки: 4p²-12p+9=11p-19.
Переносим в одну сторону: 4p²-12p-11p+9+19=0.
Упрощаем: 4p²-23p+28=0.
Дискриминант: D=(-23)²-4·4·28=529-448=81.
D=9. Корни: p_1,2=23±9/8.
p₁=32/8=4, p₂=14/8=1.75 (или 7/4).
Ответ: p₁=4,p₂=1.75.

в) 3(x+4)²=10x+32

Раскрываем скобки с учетом множителя 3: 3(x²+8x+16)=10x+32.
3x²+24x+48=10x+32.
Переносим: 3x²+24x-10x+48-32=0.
Упрощаем: 3x²+14x+16=0.
Дискриминант: D=14²-4·3·16=196-192=4.
D=2. Корни: x_1,2=-14±2/6.
x₁=-12/6=-2, x₂=-16/6=-8/3.
Ответ: x₁=-2,x₂=-22/3.

г) 15y²+17=15(y+1)²

Раскрываем правую часть: 15(y²+2y+1)=15y²+30y+15.
Уравнение: 15y²+17=15y²+30y+15.
Сокращаем 15y²: 17=30y+15.
Линейное уравнение: 30y=17-15⇒30y=2.
y=2/30=1/15.
Ответ: y=1/15.

д) (x+1)²=7918-2x

Раскрываем левую часть: x²+2x+1=7918-2x.
Переносим все влево: x²+2x+2x+1-7918=0.
Упрощаем: x²+4x-7917=0.
Дискриминант: D=4²-4·1·(-7917)=16+31668=31684.
Извлекаем корень из дискриминанта: 31684=178 (так как 170²=28900, 180²=32400, окончание на 4 дает варианты ...2 или ...8, проверка 178²=(180-2)²=32400-720+4=31684).
Корни: x_1,2=-4±178/2.
x₁=174/2=87, x₂=-182/2=-91.
Ответ: x₁=87,x₂=-91.

е) (m+2)²=3131-2m

Раскрываем левую часть: m²+4m+4=3131-2m.
Переносим влево: m²+4m+2m+4-3131=0.
Упрощаем: m²+6m-3127=0.
Дискриминант: D=6²-4·1·(-3127)=36+12508=12544.
Извлекаем корень: 12544=112 (проверка: 110²=12100, 112²=(110+2)²=12100+440+4=12544).
Корни: m_1,2=-6±112/2.
m₁=106/2=53, m₂=-118/2=-59.
Ответ: m₁=53,m₂=-59.

ж) (x+1)²=(2x-1)²

Используем свойство: если A²=B², то A=B или A=-B.
Случай 1: x+1=2x-1⇒1+1=2x-x⇒x=2.
Случай 2: x+1=-(2x-1)⇒x+1=-2x+1⇒3x=0⇒x=0.
Ответ: x₁=2,x₂=0.

з) (n-2)²+48=(2-3n)²

Раскрываем обе части:
Левая: n²-4n+4+48=n²-4n+52.
Правая: 4-12n+9n².
Приравниваем: n²-4n+52=9n²-12n+4.
Переносим влево: n²-9n²-4n+12n+52-4=0.
Упрощаем: -8n²+8n+48=0.
Делим на -8: n²-n-6=0.
По теореме Виета: сумма 1, произведение -6. Корни 3 и -2.
Ответ: n₁=3,n₂=-2.

Ответ

а) 3; -8

б) 4; 1.75

в) -2; -22/3

г) 1/15

д) 87; -91

е) 53; -59

ж) 2; 0

з) 3; -2

Все уравнения решены методом раскрытия скобок и приведения к стандартному виду квадратного уравнения. Для пунктов д) и е) потребовалось вычисление больших дискриминантов, что проверено арифметически. В пункте ж) использовано свойство равенства модулей/квадратов для упрощения решения.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 543 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 543?

Краткий ответ: а) 3; -8 б) 4; 1.75 в) -2; -2 23 г) 115 д) 87; -91 е) 53; -59 ж) 2; 0 з) 3; -2.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Квадратное уравнение и его корни.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.