ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 552: Квадратное уравнение и его корни
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Дмитрий Орлов, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Задача-исследование. 1) Решить пары уравнений
а) x2-5x+6=0 и 6x2-5x+1=0
б) 2x2-13x+6=0 и 6x2-13x+2=0. 2) Сравнить результаты и выдвинуть гипотезу о связи между корнями уравнений ax2+bx+c=0 и cx2+bx+a=0. 3) Доказать справедливость выдвинутого предположения.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Решить уравнения из пункта 1а и 1б, найдя их корни.
- Сравнить полученные множества корней для каждой пары и сформулировать гипотезу о связи между корнями уравнений ax2+bx+c=0 и cx2+bx+a=0 (пункт 2).
- Доказать эту гипотезу алгебраически (пункт 3).
Вычисление:
1) Решение пар уравнений:
а) Первое уравнение: x2-5x+6=0. По теореме Виета сумма корней равна 5, произведение — 6. Корни: x1=2,x2=3.
Второе уравнение: 6x2-5x+1=0. Дискриминант D=(-5)2-4·6·1=25-24=1. Корни: x1,2=5±1/12, то есть x1=6/12=1/2, x2=4/12=1/3.
б) Первое уравнение: 2x2-13x+6=0. Дискриминант D=(-13)2-4·2·6=169-48=121. Корни: x1,2=13±11/4, то есть x1=24/4=6, x2=2/4=1/2.
Второе уравнение: 6x2-13x+2=0. Дискриминант D=(-13)2-4·6·2=169-48=121. Корни: x1,2=13±11/12, то есть x1=24/12=2, x2=2/12=1/6.
2) Сравнение результатов и гипотеза:
В паре а) корни первого уравнения 2;3, второго — 1/2;1/3. Заметим, что каждый корень второго уравнения является обратным числом к соответствующему корню первого (1/2 обратно 2, 1/3 обратно 3). Коэффициенты при старшей степени и свободном члене поменялись местами (a=1,c=6 перешли в a′=6,c′=1).
В паре б) корни первого уравнения 6;1/2, второго — 2;1/6. Здесь связь сложнее на первый взгляд, но если рассмотреть структуру ax2+bx+c=0 и cx2+bx+a=0: в первом случае a=2,c=6, во втором a=6,c=2. Корни первого: 6,0.5. Корни второго: 2,1/6. Обратные к корням первого: 1/6,2. Это совпадает с корнями второго.
Гипотеза: Если x0 — корень уравнения ax2+bx+c=0 (c≠0), то 1/x0 — корень уравнения cx2+bx+a=0.
3) Доказательство:
Пусть x0 — корень уравнения ax2+bx+c=0. Тогда верно равенство:
ax20+bx0+c=0Так как c≠0 (иначе одно из уравнений не будет квадратным или потеряет смысл исследования обратных связей, а также x0≠0, так как c≠0), разделим обе части равенства на x20:
ax20/x20+bx0/x20+c/x20=0 a+b/x0+c/x20=0Умножим полученное выражение на c? Нет, давайте перегруппируем иначе. Запишем исходное равенство ax20+bx0+c=0. Подставим y=1/x0 в уравнение cy2+by+a=0:
c(1/x0)2+b(1/x0)+a=c/x20+b/x0+aПриведем к общему знаменателю x20:
c+bx0+ax20/x20Числитель ax20+bx0+c равен нулю по условию того, что x0 — корень первого уравнения. Следовательно, дробь равна нулю. Значит, y=1/x0 действительно является корнем уравнения cx2+bx+a=0.
Проверка:
Для пары а): x=2→1/x=0.5. Проверим 0.5 в 6x2-5x+1: 6(0.25)-2.5+1=1.5-2.5+1=0. Верно.
Для пары б): x=6→1/x=1/6. Проверим 1/6 в 6x2-13x+2: 6(1/36)-13/6+2=1/6-13/6+12/6=0. Верно.
а) x1=2,x2=3 и x1=1/2,x2=1/3
б) x1=6,x2=1/2 и x1=2,x2=1/6. Гипотеза: корни уравнений ax2+bx+c=0 и cx2+bx+a=0 взаимно обратны.
Задача направлена на выявление свойства реципрокных (обратных) уравнений. Важно отметить условие c≠0 и x≠0 при доказательстве.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 552 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 552?
Краткий ответ: а) x_1=2, x_2=3 и x_1= 12, x_2= 13; б) x_1=6, x_2= 12 и x_1=2, x_2= 16. Гипотеза: корни уравнений ax^2+bx+c=0 и cx^2+bx+a=0 взаимно обратны.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 7. Квадратное уравнение и его корни.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.