ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 599: Квадратный трёхчлен

Для нахождения корней многочлена нужно приравнять его к нулю и решить полученное уравнение. В каждом пункте мы будем использовать методы разложения на множители: вынесение общего множителя за скобки или формулы сокращённого умножения.

1. а) x²-7x
   Приравниваем к нулю: x²-7x=0.
   Выносим общий множитель x за скобки:
   x(x-7)=0
   Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
   1) x=0;
   2) x-7=0⇒x=7.
   Ответ: 0;7.
2. б) 2x-5
   Это линейный многочлен первой степени.
   Приравниваем к нулю: 2x-5=0.
   Переносим свободный член в правую часть:
   2x=5
   Делим обе части на коэффициент при x:
   x=5/2=2,5
   Ответ: 2,5.
3. в) y³-4y
   Приравниваем к нулю: y³-4y=0.
   Выносим общий множитель y за скобки:
   y(y²-4)=0
   В скобках получаем разность квадратов y²-2², которую можно разложить как (y-2)(y+2):
   y(y-2)(y+2)=0
   Решаем каждое уравнение отдельно:
   1) y=0;
   2) y-2=0⇒y=2;
   3) y+2=0⇒y=-2.
   Ответ: -2;0;2.
4. г) y⁴-16
   Приравниваем к нулю: y⁴-16=0.
   Замечаем, что это разность квадратов: (y²)²-4².
   Разлагаем по формуле a²-b²=(a-b)(a+b):
   (y²-4)(y²+4)=0
   Теперь рассматриваем каждый множитель:
   1) y²-4=0. Это снова разность квадратов: (y-2)(y+2)=0, откуда y=2 или y=-2.
   2) y²+4=0⇒y²=-4. Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных корней.
   Таким образом, единственные действительные корни найдены в первом случае.
   Ответ: -2;2.