ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 60: Сумма и разность дробей
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Илья Морозов, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что
а) выражение ((a + b)^2)/(ab) - ((a - b)^2)/(ab) тождественно равно 4
б) выражение ((a + b)^2)/(a^2 + b^2) + ((a - b)^2)/(a^2 + b^2) тождественно равно 2.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства тождеств воспользуемся правилами сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. В каждом пункте сначала объединим дроби в одну, затем раскроем скобки в числителе и упростим полученное выражение.
а) Рассмотрим выражение (a+b)2/ab-(a-b)2/ab.
- Так как знаменатели одинаковы (ab), вычтем числители: (a+b)2-(a-b)2/ab
- Раскроем квадраты сумм и разностей по формулам сокращённого умножения: (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
- Подставим раскрытые формы в числитель и выполним вычитание: (a2+2ab+b2)-(a2-2ab+b2)=a2+2ab+b2-a2+2ab-b2 Сгруппируем подобные слагаемые: a2-a2=0, b2-b2=0, а 2ab+2ab=4ab. Числитель равен 4ab.
- Получаем дробь: 4ab/ab При условии a≠0 и b≠0 сокращаем на ab, получаем 4.
Таким образом, исходное выражение тождественно равно 4.
б) Рассмотрим выражение (a+b)2/a2+b2+(a-b)2/a2+b2.
- Знаменатели одинаковы (a2+b2), поэтому складываем числители: (a+b)2+(a-b)2/a2+b2
- Раскроем квадраты в числителе: (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
- Сложим полученные многочлены: (a2+2ab+b2)+(a2-2ab+b2)=a2+2ab+b2+a2-2ab+b2 Сгруппируем подобные слагаемые: a2+a2=2a2, b2+b2=2b2, а 2ab-2ab=0. Числитель равен 2a2+2b2.
- Вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе: 2(a2+b2)/a2+b2 При условии a2+b2≠0 (что верно для любых a,b, не равных нулю одновременно) сокращаем на (a2+b2), получаем 2.
Таким образом, исходное выражение тождественно равно 2.
Доказано
а) 4
б) 2.
В решении использованы стандартные формулы сокращенного умножения и правила действий с дробями. Важно отметить условия существования дробей (знаменатель не равен нулю), хотя в школьной практике при доказательстве тождеств это часто подразумевается.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 60 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 60?
Краткий ответ: Доказано: а) 4; б) 2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Сумма и разность дробей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.