8 класс Сумма и разность дробей § 2. Сумма и разность дробей

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 64: Сумма и разность дробей

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Вера Лапина, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 63 65 →

Условие

Выполните сложение или вычитание дробей

а) 10p/(p-q) + 3p/(q-p)

б) 5a/(a-b) + 5b/(b-a)

в) (x-3)/(x-1) - 2/(1-x)

г) a/(2a-b) + (3a-b)/(b-2a)

д) a/(a²-9) + 3/(9-a²)

е) y^2/(y-1) + 1/(1-y).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В этом задании нам нужно выполнить сложение и вычитание алгебраических дробей. Основной приём здесь — приведение дробей к общему знаменателю. Часто знаменатели отличаются только знаком (например, p-q и q-p). Вспомним, что q-p=-(p-q), поэтому при изменении знака в знаменателе мы должны изменить знак перед всей дробью.

Разберём каждый пункт по порядку:

а) 10p/p-q+3p/q-p. Заметим, что q-p=-(p-q). Перепишем вторую дробь: 3p/-(p-q)=-3p/p-q. Теперь складываем дроби с одинаковыми знаменателями: 10p/p-q-3p/p-q=10p-3p/p-q=7p/p-q
б) 5a/a-b+5b/b-a. Аналогично предыдущему пункту: b-a=-(a-b). Вторая дробь становится -5b/a-b. Складываем числители: 5a/a-b-5b/a-b=5a-5b/a-b=5(a-b)/a-b Сокращаем на (a-b) (при условии a≠b): получаем 5.
в) x-3/x-1-2/1-x. Знаменатель 1-x=-(x-1). Меняем знак перед второй дробью и убираем минус в знаменателе: -2/-(x-1)=+2/x-1. Выражение принимает вид: x-3/x-1+2/x-1=x-3+2/x-1=x-1/x-1 Сокращаем на (x-1): получаем 1.
г) a/2a-b+3a-b/b-2a. Знаменатель b-2a=-(2a-b). Вторая дробь превращается в -3a-b/2a-b. Складываем: a/2a-b-3a-b/2a-b=a-(3a-b)/2a-b=a-3a+b/2a-b=-2a+b/2a-b Числитель можно записать как -(2a-b). Тогда: -(2a-b)/2a-b=-1
д) a/a²-9+3/9-a².\nЗдесь знаменатели являются разностью квадратов. Заметим, что 9-a²=-(a²-9). Вторая дробь становится -3/a²-9. Складываем: a/a²-9-3/a²-9=a-3/a²-9 Раскроем знаменатель по формуле разности квадратов: a²-9=(a-3)(a+3). Сокращаем дробь на (a-3): a-3/(a-3)(a+3)=1/a+3
е) y²/y-1+1/1-y. Знаменатель 1-y=-(y-1). Вторая дробь становится -1/y-1. Складываем: y²/y-1-1/y-1=y²-1/y-1 Числитель раскладывается как разность квадратов: y²-1=(y-1)(y+1). Сокращаем на (y-1): (y-1)(y+1)/y-1=y+1

Проверка результатов подтверждает правильность преобразований знаков и сокращения дробей. Во всех случаях после приведения к общему знаменателю выражения упрощаются до указанных ответов.

Ответ

а) 7p/p-q

б) 5

в) 1

г) -1

д) 1/a+3

е) y+1

Ключ совпадает с полученными результатами. Важно обратить внимание учеников на правило смены знака при переносе минуса из знаменателя в числитель или перед дробью.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 64 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 64?

Краткий ответ: а) 7pp-q; б) 5; в) 1; г) -1; д) 1a+3; е) y+1.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Сумма и разность дробей.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.