ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 66: Сумма и разность дробей
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Сергей Мишин, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Выполните действие
а) x^2/(x-5)^2 - 25/(5-x)^2
б) (x2+25)/(x-5)^3 + 10x/(5-x)^3.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для выполнения действий с дробями необходимо привести их к общему знаменателю. Заметим, что выражения (x-5) и (5-x) отличаются знаком: 5-x=-(x-5). Следовательно, при возведении в чётную степень (5-x)2=(x-5)2, а в нечётную степень (5-x)3=-(x-5)3. Используем это свойство для преобразования знаменателей.
Решение пункта а)
Дано выражение: x2/(x-5)2-25/(5-x)2
Так как (5-x)2=(-(x-5))2=(x-5)2, то знаменатели уже одинаковы. Объединяем дроби:
x2-25/(x-5)2
Числитель представляет собой разность квадратов: x2-25=(x-5)(x+5). Подставим это в числитель:
(x-5)(x+5)/(x-5)2
Сокращаем на общий множитель (x-5) (при условии x≠5):
x+5/x-5
Решение пункта б)
Дано выражение: x2+25/(x-5)3+10x/(5-x)3
Преобразуем второй знаменатель: (5-x)3=(-(x-5))3=-(x-5)3. Тогда второе слагаемое можно записать как:
10x/-(x-5)3=-10x/(x-5)3
Теперь оба слагаемых имеют общий знаменатель (x-5)3. Выполняем сложение:
x2+25/(x-5)3-10x/(x-5)3=x2-10x+25/(x-5)3
Числитель является полным квадратом разности: x2-10x+25=(x-5)2. Подставляем:
(x-5)2/(x-5)3
Сокращаем дробь на (x-5)2 (при условии x≠5):
1/x-5
Проверка:
В пункте а) мы использовали формулу сокращённого умножения «разность квадратов» и свойство чётной степени отрицательного числа. Результат (x+5)/(x-5) совпадает с ожидаемым видом ответа.
В пункте б) мы учли знак минуса при переходе от куба (5-x) к кубу (x-5), что привело к вычитанию второго слагаемого. Числитель свёлся к полному квадрату (x-5)2, который сократился со знаменателем (x-5)3, оставив 1/(x-5). Логика верна.
а) x+5/x-5
б) 1/x-5
Ключевые моменты: понимание связи между (a-b)n и (b-a)n. Для чётных n знаки совпадают, для нечётных — противоположны. В пункте а) знаменатели становятся равными сразу. В пункте б) меняется знак перед вторым слагаемым, что позволяет объединить числители в полный квадрат.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 66 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 66?
Краткий ответ: а) x+5x-5; б) 1x-5.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Сумма и разность дробей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.