ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 70: Сумма и разность дробей
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Светлана Крылова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Представьте дробь (5n2+/3n+6) в виде суммы двучлена и дроби. Выясните, при каких натуральных n данная дробь принимает натуральные значения.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Преобразуем исходную дробь, разделив числитель на знаменатель почленно, чтобы выделить целую часть (двучлен) и остаток.
- Проанализируем полученное выражение: для того чтобы вся сумма была натуральным числом, остаточная дробь должна быть натуральным числом.
- Найдём все натуральные значения n, при которых знаменатель делит числитель остатка без остатка.
Вычисление:
Исходная дробь имеет вид 5n2+3n+6/n. Разделим каждый член числителя на n:
5n2/n+3n/n+6/n=5n+3+6/nТаким образом, дробь представлена в виде суммы двучлена (5n+3) и дроби 6/n.
По условию задачи значение всей дроби должно быть натуральным числом. Так как n — натуральное число, то слагаемое 5n+3 всегда является натуральным числом. Следовательно, для того чтобы сумма была натуральной, необходимо и достаточно, чтобы второе слагаемое 6/n также было натуральным числом.
Это означает, что n должно быть натуральным делителем числа 6. Выпишем все натуральные делители числа 6:
- 1 (так как 6:1=6);
- 2 (так как 6:2=3);
- 3 (так как 6:3=2);
- 6 (так как 6:6=1).
При других натуральных значениях n (например, n=4,5,7...) дробь 6/n не будет целым числом, а значит, и вся сумма не будет натуральным числом.
Проверка:
Подставим найденные значения n в исходное выражение 5n2+3n+6/n:
- Если n=1: 5(1)2+3(1)+6/1=5+3+6/1=14 (натуральное).
- Если n=2: 5(2)2+3(2)+6/2=20+6+6/2=32/2=16 (натуральное).
- Если n=3: 5(3)2+3(3)+6/3=45+9+6/3=60/3=20 (натуральное).
- Если n=6: 5(6)2+3(6)+6/6=180+18+6/6=204/6=34 (натуральное).
Все полученные значения являются натуральными числами. Ответ совпадает с ожидаемым результатом.
Представление: 5n+3+6/n. Значения n: 1, 2, 3, 6.
Задача требует навыка выделения целой части из неправильной алгебраической дроби путём почленного деления. Ключевой момент логического перехода: если одно слагаемое суммы заведомо целое (при натуральном n), то для получения целого результата другое слагаемое тоже должно быть целым. Это сводит задачу к поиску делителей свободного члена.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 70 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 70?
Краткий ответ: Представление: 5n+3+ 6n. Значения n: 1, 2, 3, 6.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Сумма и разность дробей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.