8 класс Сумма и разность дробей § 2. Сумма и разность дробей

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 71: Сумма и разность дробей

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Татьяна Белова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 70 72 →

Условие

При каких целых значениях m дробь ((m-1)(m+1)-10)/m принимает целые значения?

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Чтобы дробь принимала целые значения, числитель должен делиться на знаменитель без остатка. Сначала упростим выражение в числителе, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые. Затем разделим полученный многочлен на m, чтобы выделить целую часть и остаток. Целочисленность исходной дроби будет зависеть от того, при каких целых m остаток делится на m.

Вычисление:

Раскроем скобки в числителе:

(m-1)(m+1)-10=m²-1-10=m²-11

Теперь запишем исходную дробь в упрощенном виде:

m²-11/m

Разделим почленно числитель на знаменатель:

m²/m-11/m=m-11/m

Так как по условию m — целое число, то первое слагаемое m всегда является целым. Следовательно, вся сумма будет целым числом тогда и только тогда, когда второе слагаемое 11/m является целым числом.

Это означает, что m должно быть делителем числа 11. Поскольку 11 — простое число, его целые делители: 1,-1,11,-11.

Проверка:

Подставим найденные значения m в исходное выражение m²-11/m:

При m=1: 1²-11/1=-10/1=-10 (целое).
При m=-1: (-1)²-11/-1=1-11/-1=-10/-1=10 (целое).
При m=11: 11²-11/11=121-11/11=110/11=10 (целое).
При m=-11: (-11)²-11/-11=121-11/-11=110/-11=-10 (целое).

Все полученные значения являются целыми числами. Значение m=0 не рассматривается, так как на ноль делить нельзя.

Ответ

m=± 1; m=± 11

Задача сводится к выделению целой части из неправильной алгебраической дроби. Ключевой момент — понимание того, что переменная в знаменателе должна быть делителем свободного члена после упрощения.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 71 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 71?

Краткий ответ: m = ± 1; m = ± 11.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Сумма и разность дробей.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.