ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 67: Сумма и разность дробей
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Дмитрий Орлов, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Преобразуйте выражение в одну дробь
а) x^2/(x2-16) - 8(x-2)/(x2-16)
б) (64-2ab)/(a-8)^2 + (2ab-a2)/(8-a)^2.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Рассмотрим пункт а) . Нам нужно преобразовать разность двух дробей с одинаковыми знаменателями в одну дробь. Выражение имеет вид: x2/x2-16-8(x-2)/x2-16
Так как знаменатели совпадают, мы можем объединить числители над общим знаменателем. Не забываем поставить скобки вокруг второго числителя, так как перед ним стоит знак минус: x2-8(x-2)/x2-16=x2-8x+16/x2-16
Теперь упростим полученную дробь. В числителе x2-8x+16 мы видим формулу квадрата разности (a-b)2=a2-2ab+b2, где a=x и b=4. Значит, числитель равен (x-4)2. В знаменателе x2-16 применим формулу разности квадратов a2-b2=(a-b)(a+b), получив (x-4)(x+4). Сокращаем на общий множитель (x-4):
- Числитель: (x-4)2
- Знаменатель: (x-4)(x+4)
Итоговый ответ для пункта а): x-4/x+4
Перейдем к пункту б) . Исходное выражение: 64-2ab/(a-8)2+2ab-a2/(8-a)2
Обратим внимание на знаменатели. Так как квадрат числа не зависит от знака основания, то есть (a-8)2=(-(8-a))2=(8-a)2, мы можем привести дроби к общему знаменателю (a-8)2. Запишем сумму числителей над этим общим знаменателем:
(64-2ab)+(2ab-a2)/(a-8)2
Упрощаем числитель, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые. Члены -2ab и +2ab взаимно уничтожаются:
64-2ab+2ab-a2=64-a2
Теперь у нас есть дробь: 64-a2/(a-8)2
Разложим числитель по формуле разности квадратов: 64-a2=(8-a)(8+a). Знаменатель оставим как есть или представим через (8-a)2, чтобы удобнее было сокращать. Поскольку (a-8)2=(8-a)2, перепишем выражение:
(8-a)(8+a)/(8-a)2
Сокращаем дробь на общий множитель (8-a):
8+a/8-a
Ответ для пункта б): 8+a/8-a
а) x-4/x+4
б) 8+a/8-a
В пункте а) важно правильно раскрыть скобки при вычитании (-8(x-2)=-8x+16). В пункте б) ключевой момент — понимание того, что (a-8)2 и (8-a)2 равны, что позволяет объединить дроби без изменения знаков в числителях.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 67 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 67?
Краткий ответ: а) x-4x+4; б) 8+a8-a.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Сумма и разность дробей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.