ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 65: Сумма и разность дробей
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Илья Морозов, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что значение выражения не зависит от x при всех допустимых значениях
а) (3x+5)/(2x-1) + (7x+3)/(1-2x)
б) (5x+1)/(5x-20) + (x+17)/(20-5x).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной x, необходимо привести дроби к общему знаменателю, выполнить сложение числителей и упростить полученное выражение. Если после сокращения переменная x исчезнет, а результат будет равен константе, утверждение доказано.
а) (3x+5)/(2x-1)+(7x+3)/(1-2x)
Заметим, что знаменатели 2x-1 и 1-2x являются противоположными числами: 1-2x=-(2x-1). Изменим знак перед второй дробью и заменим её знаменатель на 2x-1:
3x+5/2x-1-7x+3/2x-1Теперь знаменатели одинаковы. Выполним вычитание числителей:
(3x+5)-(7x+3)/2x-1=3x+5-7x-3/2x-1=-4x+2/2x-1Вынесем общий множитель -2 из числителя:
-2(2x-1)/2x-1Сократим дробь на общий множитель (2x-1) (при условии 2x-1≠0, то есть x≠0,5):
-2Результат равен -2, что является числом, не содержащим x. Значит, значение выражения не зависит от x.
б) (5x+1)/(5x-20)+(x+17)/(20-5x)
Аналогично пункту а), заметим, что 20-5x=-(5x-20). Преобразуем вторую дробь:
5x+1/5x-20-x+17/5x-20Приводим к общему знаменателю и выполняем вычитание в числителе:
(5x+1)-(x+17)/5x-20=5x+1-x-17/5x-20=4x-16/5x-20Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе выносим 4, в знаменателе — 5:
4(x-4)/5(x-4)Сокращаем на общий множитель (x-4) (при условии x≠4):
4/5=0,8Результат равен 0,8, что не зависит от значения переменной x. Утверждение доказано.
а) -2
б) 0,8
В обоих случаях ключевым шагом является распознавание противоположных знаменателей (a-b и b-a). После приведения к общему знаменателю происходит сокращение переменной.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 65 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 65?
Краткий ответ: а) -2; б) 0,8.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Сумма и разность дробей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.