ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 609: Квадратный трёхчлен
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Павел Лебедев, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Доказать свойства значений квадратного трёхчлена при любом x
а) x2-6x+10>0
б) 5x2-10x+5≥0
в) -x2+20x-100≤0
г) -2x2+16x-33<0
д) x2-0,32x+0,0256 не может быть отрицательным
е) 4x2+0,8x+2>0.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства свойств значений квадратного трёхчлена ax2+bx+c при любом x будем использовать метод выделения полного квадрата. Этот способ позволяет представить выражение в виде суммы или разности квадратов и константы, что сразу показывает знак всего выражения.
а) Докажем, что x2-6x+10>0.
- Выделим полный квадрат из первых двух слагаемых: x2-6x=(x-3)2-9.
- Подставим это в исходное выражение: (x-3)2-9+10=(x-3)2+1.
- Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ((x-3)2≥0), то сумма (x-3)2+1 всегда строго больше нуля.
- Следовательно, неравенство верно для всех x.
б) Докажем, что 5x2-10x+5≥0.
- Вынесем общий множитель 5 за скобки: 5(x2-2x+1).
- В скобках стоит формула квадрата разности: x2-2x+1=(x-1)2.
- Получаем выражение 5(x-1)2.
- Так как (x-1)2≥0 и 5>0, то произведение неотрицательно. Неравенство верно для всех x.
в) Докажем, что -x2+20x-100≤0.
- Вынесем минус за скобки: -(x2-20x+100).
- В скобках — квадрат разности: x2-20x+100=(x-10)2.
- Получаем выражение -(x-10)2.
- Так как (x-10)2≥0, то с минусом перед ним выражение неположительно (≤0). Неравенство верно для всех x.
г) Докажем, что -2x2+16x-33<0.
- Вынесем коэффициент -2 за скобки: -2(x2-8x+16.5).
- Дополним до полного квадрата внутри скобок: x2-8x=(x-4)2-16.
- Тогда выражение в скобках: (x-4)2-16+16.5=(x-4)2+0.5.
- Итоговое выражение: -2((x-4)2+0.5)=-2(x-4)2-1.
- Так как -2(x-4)2≤0, то вычитание единицы делает всё выражение строго меньше нуля (≤-1<0). Неравенство верно для всех x.
д) Докажем, что x2-0,32x+0,0256 не может быть отрицательным.
- Заметим, что свободный член 0,0256 является квадратом числа 0,16 (0,162=0,0256).
- Проверим средний член: 2·x·0,16=0,32x. Это совпадает с условием.
- Следовательно, выражение является полным квадратом: (x-0,16)2.
- Квадрат любого числа неотрицателен, значит, значение выражения всегда ≥0. Оно не может быть отрицательным.
е) Докажем, что 4x2+0,8x+2>0.
- Выделим полный квадрат. Для этого представим первые два слагаемых как часть квадрата двучлена (2x+k)2=4x2+4kx+k2.
- Приравниваем линейный член: 4kx=0,8x⇒k=0,2.
- Тогда (2x+0,2)2=4x2+0,8x+0,04.
- Перепишем исходное выражение, добавив и отняв 0,04: 4x2+0,8x+2=(4x2+0,8x+0,04)+1,96.
- Получаем: (2x+0,2)2+1,96.
- Так как (2x+0,2)2≥0, а 1,96>0, то вся сумма строго положительна. Неравенство верно для всех x.
Все неравенства доказаны методом выделения полного квадрата.
Решение построено на алгебраическом преобразовании каждого трёхчлена к виду a(x-m)2+n. Анализ знака коэффициента a и свободного члена n позволяет сделать вывод о знаке всего выражения.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 609 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 609?
Краткий ответ: Все неравенства доказаны методом выделения полного квадрата.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 8. Квадратный трёхчлен.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.