ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 610: Квадратный трёхчлен
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Роман Жуков, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Доказать, что трёхчлен x2-6x+11 всегда положителен (не принимает отрицательных значений), а трёхчлен -x2+6x-11 всегда отрицателен (не принимает положительных значений).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Чтобы доказать знак квадратного трёхчлена, удобно выделить полный квадрат в его выражении. Если после выделения квадрата остаётся положительное число, то весь трёхчлен положителен (так как квадрат любого числа неотрицателен). Аналогично, если перед квадратом стоит минус и вычитается положительное число, то значение всегда отрицательно.
Решение для первого трёхчлена x2-6x+11:
Выделим полный квадрат из первых двух слагаемых. Для этого вспомним формулу (a-b)2=a2-2ab+b2. У нас есть x2-6x, значит, удвоенное произведение равно 6x, откуда b=3. Нам нужно добавить и вычесть 32=9:
x2-6x+11=(x2-6x+9)-9+11 x2-6x+11=(x-3)2+2Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то (x-3)2≥0. Прибавив к этому неотрицательному числу двойку, мы получим результат, строго больший нуля:
(x-3)2+2≥2>0Следовательно, трёхчлен x2-6x+11 всегда положителен.
Решение для второго трёхчлена -x2+6x-11:
Заметим, что второй трёхчлен является противоположным первому: -x2+6x-11=-(x2-6x+11).
Мы уже доказали, что выражение в скобках всегда больше нуля. Значит, перед ним стоит знак минус, который меняет знак всего выражения на противоположный:
-(x2-6x+11)<0Или можно проделать выделение квадрата напрямую, вынеся минус за скобки:
-x2+6x-11=-(x2-6x+11)=-((x-3)2+2)=-(x-3)2-2Так как (x-3)2≥0, то -(x-3)2≤0. Вычитая из этого неположительного числа ещё двойку, мы получаем результат, строго меньший нуля:
-(x-3)2-2≤-2<0Следовательно, трёхчлен -x2+6x-11 всегда отрицателен.
Проверка:
Подставим любое число, например x=3, в первый трёхчлен: 32-6·3+11=9-18+11=2. Число положительное. Во второй трёхчлен при том же x: -9+18-11=-2. Число отрицательное. Дискриминант первого уравнения D=(-6)2-4·1·11=36-44=-8<0, ветви параболы направлены вверх, корней нет — график выше оси абсцисс. Для второго D<0, ветви вниз — график ниже оси абсцисс. Доказательство верно.
Доказано: x2-6x+11=(x-3)2+2>0; -x2+6x-11=-(x-3)2-2<0
Задача на метод выделения полного квадрата. Ключевой момент — понимание того, что квадрат любого реального числа неотрицателен (a2≥0), и добавление/вычитание константы позволяет оценить знак всего выражения.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 610 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 610?
Краткий ответ: Доказано: x^2 - 6x + 11 = (x-3)^2 + 2 > 0; -x^2 + 6x - 11 = -(x-3)^2 - 2 < 0.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 8. Квадратный трёхчлен.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.