ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 619: Квадратный трёхчлен

Для разложения квадратного трёхчлена ax²+bx+c на множители воспользуемся формулой: a(x-x₁)(x-x₂) где x₁ и x₂ — корни соответствующего квадратного уравнения ax²+bx+c=0. Если дискриминант отрицателен или равен нулю (в случае одного корня), подход будет немного отличаться, но в данных примерах мы ожидаем два различных корня.

а) 2x²+12x-14

1. Вынесем общий множитель за скобки для упрощения вычислений: 2(x²+6x-7).
2. Найдём корни уравнения x²+6x-7=0. По теореме Виета сумма корней равна -6, а произведение -7. Корни: x₁=1, x₂=-7.
3. Запишем разложение: 2(x-1)(x+7).

б) -m²+5m-6

1. Вынесем минус за скобки: -(m²-5m+6).
2. Решим уравнение m²-5m+6=0. Сумма корней 5, произведение 6. Корни: m₁=2, m₂=3.
3. Запишем разложение: -(m-2)(m-3).

в) 3x²+5x-2

1. Найдём дискриминант уравнения 3x²+5x-2=0: D=b²-4ac=5²-4·3·(-2)=25+24=49.
2. Корни: x_1,2=-5±49/2·3=-5±7/6. x₁=2/6=1/3, x₂=-12/6=-2.
3. Применим формулу разложения a(x-x₁)(x-x₂): 3(x-1/3)(x-(-2))=3(x-1/3)(x+2).
4. Внесём тройку в первую скобку: (3x-1)(x+2).

г) 6x²-13x+6

1. Найдём дискриминант уравнения 6x²-13x+6=0: D=(-13)²-4·6·6=169-144=25.
2. Корни: x_1,2=13±25/2·6=13±5/12. x₁=18/12=3/2, x₂=8/12=2/3.
3. Запишем разложение: 6(x-3/2)(x-2/3).
4. Распределим множитель 6 между скобками (6=2·3): 2(x-3/2)·3(x-2/3)=(2x-3)(3x-2).

Проверка: Раскроем скобки в полученных ответах, чтобы убедиться в правильности. Например, для пункта г): (2x-3)(3x-2)=6x²-4x-9x+6=6x²-13x+6. Совпадает с условием. Аналогичная проверка проходит для остальных пунктов.