ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 621: Квадратный трёхчлен

Чтобы определить, можно ли представить квадратный трёхчлен ax²+bx+c в виде произведения линейных множителей (многочленов первой степени), необходимо проверить наличие у него действительных корней. Это возможно тогда и только тогда, когда дискриминант D=b²-4ac неотрицателен (D≥0). Если D<0, то корни мнимые, и разложение на множители с действительными коэффициентами невозможно.

Рассмотрим каждый пункт отдельно:

• а) Трёхчлен -3y²+3y+11. Здесь a=-3, b=3, c=11. Вычислим дискриминант: D=3²-4·(-3)·11=9+132=141. Так как D>0, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, трёхчлен можно представить в виде произведения многочленов первой степени.
• б) Трёхчлен 4b²-9b+7. Здесь a=4, b=-9, c=7. Вычислим дискриминант: D=(-9)²-4·4·7=81-112=-31. Так как D<0, действительных корней нет, поэтому трёхчлен нельзя представить в виде произведения многочленов первой степени с действительными коэффициентами.
• в) Трёхчлен x²-7x+11. Здесь a=1, b=-7, c=11. Вычислим дискриминант: D=(-7)²-4·1·11=49-44=5. Так как D>0, действительные корни существуют, значит, трёхчлен можно представить в виде произведения многочленов первой степени.
• г) Трёхчлен 3y²-12y+12. Здесь a=3, b=-12, c=12. Вычислим дискриминант: D=(-12)²-4·3·12=144-144=0. Так как D=0, есть один двукратный корень, что позволяет представить трёхчлен в виде квадрата линейного выражения (произведение двух одинаковых множителей первой степени). Следовательно, это возможно .

Итак, мы проанализировали знаки дискриминантов для каждого случая. В пунктах а), в) и г) дискриминант неотрицателен, что гарантирует существование действительных корней и возможность разложения. В пункте б) дискриминант отрицателен, что делает такое разложение невозможным в области действительных чисел.