ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 623: Квадратный трёхчлен

План решения.

Нам нужно найти квадратный трёхчлен вида ax²+bx+c, где коэффициенты a,b,c являются натуральными числами и представляют собой набор $ , 2 , 3 в некотором порядке. При этом трёхчлен должен иметь корни (то есть дискриминант D \ge 0). После нахождения подходящих коэффициентов разложим трёхчлен на множители по формуле a(x-x_1)(x-x_2).</p><p><strong>Вычисление.</strong></p><p>Рассмотрим возможные варианты расстановки коэффициентов. Пусть старший коэффициентa = . Тогда остальные два коэффициента — это2 и3 . Они могут стоять при x или быть свободным членом.</p><ul><li>Вариант 1:b = 2 , c=3 . Трёхчлен:nx²+2 x+3 . Дискриминант: D=(2 )^{2}-4 \cdot \cdot 3 = 4² - 12² = -8² < 0. Корней нет.</li><li>Вариант 2:b = 3 , c=2 . Трёхчлен:nx²+3 x+2 . Дискриминант: D=(3 )^{2}-4 \cdot \cdot 2 = 9² - 8² = ^2 > 0. Корни существуют.</li></ul><p>Таким образом, для любого натурального подходит трёхчленnx²+3 x+2 . Для простоты возьмём =1. Тогда коэффициенты равны1, 3, 2(это числа вида1, 2\cdot1, 3\cdot1). Получаем трёхчлен:</p>x²+3x+2<p>Найдём его корни через дискриминант (D = 3^{2} - 4\cdot1\cdot2 = 9-8=1):</p>x_1,2=-3±1/2$ x₁=-3+1/2=-1, x₂=-3-1/2=-2

Разложим на множители:

Проверка.

Коэффициенты полученного трёхчлена x²+3x+2: a=1,b=3,c=2. Это натуральные числа. Являются ли они числами вида $ , 2 , 3 ? Да, при =1имеем набор1, 2, 3. Расположение произвольное, условие выполнено. Трёхчлен имеет корни-1и-2$. Разложение верно.