ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 631: Дробные рациональные уравнения
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Татьяна Белова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Найдите корни уравнения
а) y^2/(y+3) = y/(y+3)
б) x^2/(x2-4) = (5x-6)/(x2-4)
в) 2x^2/(x-2) = (-/7x+6)
г) (y2-6y)/(y-5) = 5/(5-y)
д) (2x-1)/(x+7) = (3x+4)/(x-1)
е) (2y+3)/(2y-1) = (y-5)/(y+3)
ж) (5y+1)/(y+1) = (y+2)/y
з) (1+3x)/(1-2x) = (5-3x)/(1+2x)
и) (x-1)/(2x+3) - (2x-1)/(3-2x) = 0.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения дробных рациональных уравнений необходимо выполнить два основных шага: найти область допустимых значений (ОДЗ), исключив корни знаменателя, и решить полученное целое уравнение после умножения на общий знаменатель. В конце обязательно проверить, не являются ли найденные корни посторонними.
а) y2/y+3=y/y+3
ОДЗ: y+3≠0⇒y≠-3.
Умножаем обе части на (y+3):
y2=y
y2-y=0
y(y-1)=0
Корни: y1=0, y2=1. Оба корня входят в ОДЗ.
Ответ: 0;1.
б) x2/x2-4=5x-6/x2-4
ОДЗ: x2-4≠0⇒x≠2,x≠-2.
Умножаем на (x2-4):
x2=5x-6
x2-5x+6=0
По теореме Виета: x1=2,x2=3.
Проверка по ОДЗ: x=2 — посторонний корень. Подходит только x=3.
Ответ: 3.
в) 2x2/x-2=-7x+6/2-x
Заметим, что 2-x=-(x-2). Перенесём правую часть или преобразуем знак:
2x2/x-2=7x-6/x-2
ОДЗ: x≠2.
Умножаем на (x-2):
2x2=7x-6
2x2-7x+6=0
Дискриминант D=49-48=1.
x1,2=7±1/4⇒x1=2,x2=1.5.
Проверка по ОДЗ: x=2 — посторонний корень. Подходит x=1.5.
Ответ: 1.5.
г) y2-6y/y-5=5/5-y
Преобразуем правую часть: 5/-(y-5)=-5/y-5.
Уравнение: y2-6y/y-5=-5/y-5.
ОДЗ: y≠5.
y2-6y=-5
y2-6y+5=0
Корни: y1=1,y2=5.
Проверка по ОДЗ: y=5 — посторонний корень. Подходит y=1.
Ответ: 1.
д) 2x-1/x+7=3x+4/x-1
ОДЗ: x≠-7,x≠1.
Используем свойство пропорции (крест-накрест):
(2x-1)(x-1)=(3x+4)(x+7)
2x2-2x-x+1=3x2+21x+4x+28
2x2-3x+1=3x2+25x+28
Переносим всё в одну сторону:
x2+28x+27=0
Корни: x1=-1,x2=-27.
Оба корня входят в ОДЗ.
Ответ: -1;-27.
е) 2y+3/2y-1=y-5/y+3
ОДЗ: y≠0.5,y≠-3.
Крест-накрест:
(2y+3)(y+3)=(2y-1)(y-5)
2y2+6y+3y+9=2y2-10y-y+5
2y2+9y+9=2y2-11y+5
Сокращаем 2y2:
9y+9=-11y+5
20y=-4
y=-0.2.
Корень входит в ОДЗ.
Ответ: -0.2.
ж) 5y+1/y+1=y+2/y
ОДЗ: y≠-1,y≠0.
Крест-накрест:
y(5y+1)=(y+1)(y+2)
5y2+y=y2+3y+2
4y2-2y-2=0
Делим на 2:
2y2-y-1=0
D=1+8=9.
y1,2=1±3/4⇒y1=1,y2=-0.5.
Оба корня входят в ОДЗ.
Ответ: 1;-0.5.
з) 1+3x/1-2x=5-3x/1+2x
ОДЗ: x≠0.5,x≠-0.5.
Крест-накрест:
(1+3x)(1+2x)=(5-3x)(1-2x)
1+2x+3x+6x2=5-10x-3x+6x2
1+5x+6x2=5-13x+6x2
Сокращаем 6x2:
1+5x=5-13x
18x=4
x=4/18=2/9.
Корень входит в ОДЗ.
Ответ: 2/9.
и) x-1/2x+3-2x-1/3-2x=0
Заметим, что 3-2x=-(2x-3). Но удобнее привести к общему знаменателю сразу или перенести слагаемое.
x-1/2x+3=2x-1/3-2x
ОДЗ: 2x+3≠0⇒x≠-1.5; 3-2x≠0⇒x≠1.5.
Крест-накрест:
(x-1)(3-2x)=(2x+3)(2x-1)
3x-2x2-3+2x=4x2-2x+6x-3
-2x2+5x-3=4x2+4x-3
Переносим всё вправо:
6x2-x=0
x(6x-1)=0
Корни: x1=0,x2=1/6.
Оба корня входят в ОДЗ.
Ответ: 0;1/6.
а) 0; 1
б) 3
в) 1.5
г) 1
д) -1; -27
е) -0.2
ж) 1; -0.5
з) 2/9
и) 0; 1/6
В пункте е) ключ содержит лишние корни (-0.5; 1), которые не удовлетворяют исходному линейному уравнению после сокращения квадратов. В пункте ж) ключ содержит только один корень (2/9), который является ответом для пункта з). Решение дано строго по математическим вычислениям.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 631 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 631?
Краткий ответ: а) 0; 1; б) 3; в) 1.5; г) 1; д) -1; -27; е) -0.2; ж) 1; -0.5; з) 29; и) 0; 16.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Дробные рациональные уравнения.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.