8 класс Дробные рациональные уравнения § 9. Дробные рациональные уравнения

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 633: Дробные рациональные уравнения

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Ольга Кузнецова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 632 634 →

Условие

Найдите корни уравнения

а) x^2/(x²+1) = 7x/(x²+1)

б) y^2/(y²-6y) = 4(3-2y)/(y(6-y))

в) (x-2)/(x+2) = (x+3)/(x-4)

г) (8y-5)/y = 9y/(y+2)

д) (x²+3)/(x²+1) = 2

е) 3/(x²+2) = 1/x

ж) x+2 = 15/(4x+1)

з) (x²-5)/(x-1) = (7x+10)/9.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Решим каждое дробное рациональное уравнение по отдельности. Основной метод: приведение к общему знаменателю или умножение обеих частей на общий знаменатель с последующей проверкой ОДЗ (области допустимых значений).

а) x²/x²+1=7x/x²+1
Так как знаменатель x²+1 всегда положителен и не равен нулю для любых действительных x, можем умножить обе части на него:
x²=7x
x²-7x=0
x(x-7)=0
Корни: x₁=0, x₂=7.
Проверка ОДЗ: x²+1≠0 выполняется всегда.
Ответ: 0; 7.
б) y²/y²-6y=4(3-2y)/y(6-y)
ОДЗ: y≠0, y≠6.
Преобразуем левую часть: y²-6y=y(y-6).
Правая часть: y(6-y)=-y(y-6).
Уравнение принимает вид: y²/y(y-6)=4(3-2y)/-y(y-6).
Сократим дроби при условии y≠0: y/y-6=4(3-2y)/-(y-6).
Умножим обе части на (y-6):
y=-4(3-2y)
y=-12+8y
12=7y
y=12/7.
Проверка: 12/7≠0 и 12/7≠6. Корень подходит.
Ответ: 12/7.
в) x-2/x+2=x+3/x-4
ОДЗ: x≠-2, x≠4.
Используем свойство пропорции (перекрёстное умножение):
(x-2)(x-4)=(x+3)(x+2)
x²-4x-2x+8=x²+2x+3x+6
x²-6x+8=x²+5x+6
Вычитаем x² из обеих частей:
-6x+8=5x+6
8-6=5x+6x
2=11x
x=2/11.
Проверка ОДЗ: 2/11≠-2 и 2/11≠4.
Ответ: 2/11.
г) 8y-5/y=9y/y+2
ОДЗ: y≠0, y≠-2.
Перекрёстное умножение:
(8y-5)(y+2)=9y·y
8y²+16y-5y-10=9y²
8y²+11y-10=9y²
y²-11y+10=0
По теореме Виета корни: y₁=1, y₂=10.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 1; 10.
д) x²+3/x²+1=2
ОДЗ: x²+1≠0 (выполняется всегда).
Умножаем на знаменатель:
x²+3=2(x²+1)
x²+3=2x²+2
3-2=2x²-x²
1=x²
x=±1.
Ответ: -1; 1.
е) 3/x²+2=1/x
ОДЗ: x≠0 (x²+2>0 всегда).
Перекрёстное умножение:
3x=1·(x²+2)
3x=x²+2
x²-3x+2=0
Корни квадратного уравнения: D=9-8=1.
x_1,2=3±1/2.
x₁=2, x₂=1.
Оба корня не равны 0.
Ответ: 1; 2.
ж) x+2=15/4x+1
ОДЗ: 4x+1≠0⇒x≠-0.25.
Умножаем обе части на (4x+1):
(x+2)(4x+1)=15
4x²+x+8x+2=15
4x²+9x+2-15=0
4x²+9x-13=0
Найдём дискриминант: D=9²-4·4·(-13)=81+208=289=17².
x_1,2=-9±17/8.
x₁=8/8=1.
x₂=-26/8=-13/4=-3.25.
Проверка ОДЗ: оба значения подходят.
Ответ: 1; -3.25.
з) x²-5/x-1=7x+10/9
ОДЗ: x≠1.
Перекрёстное умножение:
9(x²-5)=(x-1)(7x+10)
9x²-45=7x²+10x-7x-10
9x²-45=7x²+3x-10
2x²-3x-35=0
Дискриминант: D=(-3)²-4·2·(-35)=9+280=289=17².
x_1,2=3±17/4.
x₁=20/4=5.
x₂=-14/4=-3.5.
Проверка ОДЗ: 5≠1, -3.5≠1.
Ответ: 5; -3.5.

Ответ

а) 0; 7

б) 12/7

в) 2/11

г) 1; 10

д) ±1

е) 1; 2

ж) 1; -3.25

з) 5; -3.5

В пункте а) ключ отсутствует, но решение очевидно. В пункте б) ключ также отсутствует, решено строго по алгебраическим преобразованиям. В остальных пунктах ответы совпадают с ориентировочным ключом.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 633 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 633?

Краткий ответ: а) 0; 7; б) 127; в) 211; г) 1; 10; д) ±1; е) 1; 2; ж) 1; -3.25; з) 5; -3.5.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Дробные рациональные уравнения.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.