ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 636: Дробные рациональные уравнения

План решения:

Для каждого пункта необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ), привести уравнение к общему знаменателю или использовать замену переменной для упрощения дробей, решить полученное линейное или квадратное уравнение и проверить корни на принадлежность ОДЗ.

а) (x-4)/(x-5)+(x-6)/(x+5)=2

ОДЗ: x≠5,x≠-5.
Приведем к общему знаменателю (x-5)(x+5):
(x-4)(x+5)+(x-6)(x-5)/(x-5)(x+5)=2
Раскроем скобки в числителе:
(x²+x-20)+(x²-11x+30)=2(x²-25)
2x²-10x+10=2x²-50
Вычтем 2x² из обеих частей:
-10x+10=-50
-10x=-60
x=6
Проверка: 6≠5 и 6≠-5, корень подходит.

б) 1/(2-x)-1=1/(x-2)-(6-x)/(3x²-12)

ОДЗ: x≠2,x≠-2.
Заметим, что 2-x=-(x-2). Преобразуем первое слагаемое слева:
-1/x-2-1=1/x-2-6-x/3(x-2)(x+2)
Перенесем все члены с x-2 в одну сторону или умножим на общий знаменатель 3(x-2)(x+2):
3(-1)(x+2)-3(x-2)(x+2)=3(x+2)-(6-x)
-3x-6-3(x²-4)=3x+6-6+x
-3x-6-3x²+12=4x
-3x²-7x+6=0
Умножим на -1: 3x²+7x-6=0.
Дискриминант D=49-4·3·(-6)=49+72=121.
x₁=-7+11/6=4/6=2/3
x₂=-7-11/6=-18/6=-3
Оба корня не равны ±2, подходят.

в) (7y-3)/(y-y²)=1/(y-1)-5/(y(y-1))

ОДЗ: y≠0,y≠1.
Разложим знаменатель слева: y-y²=y(1-y)=-y(y-1).
Уравнение принимает вид:
7y-3/-y(y-1)=1/y-1-5/y(y-1)
Умножим обе части на -y(y-1) (учитывая знак минус при переносе):
7y-3=-y·1+5
7y-3=-y+5
8y=8
y=1
Но y=1 не входит в ОДЗ. Следовательно, корней нет.

г) 3/(y-2)+7/(y+2)=10/y

ОДЗ: y≠2,y≠-2,y≠0.
Общий знаменатель: y(y-2)(y+2)=y(y²-4).
3y(y+2)+7y(y-2)=10(y²-4)
3y²+6y+7y²-14y=10y²-40
10y²-8y=10y²-40
-8y=-40
y=5
Корень 5 входит в ОДЗ.

д) (x+3)/(x-3)+(x-3)/(x+3)=31/3

ОДЗ: x≠3,x≠-3.
Запишем смешанное число как неправильную дробь: 31/3=10/3.
Сделаем замену t=x+3/x-3. Тогда второе слагаемое равно 1/t.
t+1/t=10/3
Умножим на 3t: 3t²+3=10t
3t²-10t+3=0
D=100-36=64.
t₁=10+8/6=3, t₂=10-8/6=1/3.
Возвращаемся к x:
1) x+3/x-3=3⇒x+3=3x-9⇒2x=12⇒x=6.
2) x+3/x-3=1/3⇒3(x+3)=x-3⇒3x+9=x-3⇒2x=-12⇒x=-6.
Оба корня входят в ОДЗ.

е) (5x+7)/(x-2)-(2x+21)/(x+2)=82/3

ОДЗ: x≠2,x≠-2.
82/3=26/3.
Приведем левую часть к общему знаменателю (x-2)(x+2)=x²-4:
(5x+7)(x+2)-(2x+21)(x-2)/x²-4=26/3
Раскроем скобки в числителе:
(5x²+10x+7x+14)-(2x²-4x+21x-42)
=(5x²+17x+14)-(2x²+17x-42)
=3x²+56
Получаем уравнение:
3x²+56/x²-4=26/3
Умножаем крест-накрест:
3(3x²+56)=26(x²-4)
9x²+168=26x²-104
168+104=26x²-9x²
272=17x²
x²=272/17=16
x=±4
Оба корня входят в ОДЗ.