8 класс Дробные рациональные уравнения § 9. Дробные рациональные уравнения

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 632: Дробные рациональные уравнения

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Надежда Фомина, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 631 633 →

Условие

Решите уравнение

а) (2x-5)/(x+5) - 4 = 0

б) 12/(7-x) = x

в) (x²-4)/(4x) = (3x-2)/(2x)

г) 10/(2x-3) = x-1

д) 8/x=3x+2

е) (x²+4x)/(x+2) = 2x/3

ж) (2x²-/5x+3) = 0

з) (4x³-9x)/(x+1,5) = 0.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Решим каждое дробное рациональное уравнение по отдельности. Основной алгоритм: найти область допустимых значений (ОДЗ), привести к целому уравнению или приравнять числитель к нулю, решив его, и проверить полученные корни на принадлежность ОДЗ.

а) 2x-5/x+5-4=0

План: Перенесем константу в правую часть или приведем к общему знаменателю. ОДЗ: x≠-5.
Вычисление: 2x-5/x+5=4. Умножим обе части на (x+5): 2x-5=4(x+5). Раскроем скобки: 2x-5=4x+20. Перенесем слагаемые: 2x-4x=20+5, откуда -2x=25, значит x=-12,5.
Проверка: -12,5≠-5, корень подходит.

б) 12/7-x=x

План: Избавимся от знаменателя умножением. ОДЗ: x≠7.
Вычисление: 12=x(7-x). Получаем квадратное уравнение: 12=7x-x², или x²-7x+12=0. По теореме Виета корни равны 3 и 4 (3+4=7,3·4=12).
Проверка: Ни один из корней не равен 7, оба подходят.

в) x²-4/4x=3x-2/2x

План: Приведем к общему знаменателю 4x. ОДЗ: x≠0.
Вычисление: Умножим правую часть на 2/2: 3x-2/2x=2(3x-2)/4x=6x-4/4x. Приравниваем числители: x²-4=6x-4. Отсюда x²-6x=0, выносим x: x(x-6)=0. Корни: x₁=0,x₂=6.
Проверка: x=0 не входит в ОДЗ. Ответ: x=6.

г) 10/2x-3=x-1

План: Умножим на знаменатель. ОДЗ: 2x-3≠0⇒x≠1,5.
Вычисление: 10=(x-1)(2x-3). Раскрываем скобки: 10=2x²-3x-2x+3, то есть 2x²-5x-7=0. Дискриминант D=(-5)²-4·2·(-7)=25+56=81. Корни: x_1,2=5±9/4. x₁=14/4=3,5, x₂=-4/4=-1.
Проверка: Оба корня не равны 1,5, подходят.

д) 8/x=3x+2

План: Умножим на x. ОДЗ: x≠0.
Вычисление: 8=x(3x+2)⇒3x²+2x-8=0. Дискриминант D=2²-4·3·(-8)=4+96=100. Корни: x_1,2=-2±10/6. x₁=8/6=4/3=11/3, x₂=-12/6=-2.
Проверка: Корни не равны нулю, подходят.

е) x²+4x/x+2=2x/3

План: Используем пропорцию или общий знаменатель. ОДЗ: x≠-2.
Вычисление: 3(x²+4x)=2x(x+2). Раскрываем: 3x²+12x=2x²+4x. Переносим все влево: x²+8x=0. Выносим x: x(x+8)=0. Корни: x₁=0,x₂=-8.
Проверка: Ни один корень не равен -2, оба подходят.

ж) 2x²-5x+3/10x-5=0

План: Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — нет. ОДЗ: 10x-5≠0⇒x≠0,5.
Вычисление: Решаем 2x²-5x+3=0. Сумма коэффициентов 2-5+3=0, значит один корень x₁=1. Второй корень по теореме Виета: x₁·x₂=c/a=3/2=1,5, откуда x₂=1,5.
Проверка: 1≠0,5 и 1,5≠0,5. Оба корня подходят.

з) 4x³-9x/x+1,5=0

План: Числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю. ОДЗ: x≠-1,5.
Вычисление: 4x³-9x=0. Выносим x: x(4x²-9)=0. Это дает x₁=0 и 4x²=9⇒x²=2,25⇒x_2,3=±1,5.
Проверка: Корень x=-1,5 не входит в ОДЗ (знаменатель обращается в ноль). Корни 0 и 1,5 подходят.

Ответ

а) -12,5

б) 3; 4

в) 6

г) -1; 3,5

д) -2; 11/3

е) 0; -8

ж) 1; 1,5

з) 0; 1,5

В пункте в) важно исключить корень x=0 из-за ОДЗ. В пункте з) важно исключить корень x=-1,5 из-за ОДЗ.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 632 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 632?

Краткий ответ: а) -12,5; б) 3; 4; в) 6; г) -1; 3,5; д) -2; 1 13; е) 0; -8; ж) 1; 1,5; з) 0; 1,5.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Дробные рациональные уравнения.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.