8 класс Дробные рациональные уравнения § 9. Дробные рациональные уравнения

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 634: Дробные рациональные уравнения

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Ольга Кузнецова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 633 635 →

Условие

Решить уравнение

а) (3x+1)/(x+2) - (x-1)/(x-2) = 1

б) (2y-2)/(y+3) + (y+3)/(y-3) = 5

в) 4/(9y²-1) - 4/(3y+1) = 5/(1-3y)

г) 4/(x+3) - 5/(3-x) = 1/(x-3) - 1

д) 3/x + 4/(x-1) = (5-x)/(x²-x)

е) (3y-2)/y - 1/(y-2) = (3y+4)/(y²-2y).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Решим каждое уравнение по порядку, соблюдая область допустимых значений (ОДЗ).

а) 3x+1/x+2-x-1/x-2=1
ОДЗ: x≠-2,x≠2.
Приведем к общему знаменателю (x+2)(x-2):
(3x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)/(x+2)(x-2)=1
3x²-6x+x-2-(x²+2x-x-2)/x²-4=1
3x²-5x-2-x²-x+2/x²-4=1
2x²-6x/x²-4=1
2x²-6x=x²-4
x²-6x+4=0
По теореме Виета или через дискриминант: D=36-16=20.
x_1,2=6±20/2=6±25/2=3±5.
Оба корня входят в ОДЗ.
Ответ: 3-5;3+5.
б) 2y-2/y+3+y+3/y-3=5
ОДЗ: y≠-3,y≠3.
Общий знаменатель (y+3)(y-3)=y²-9:
(2y-2)(y-3)+(y+3)²/y²-9=5
2y²-6y-2y+6+y²+6y+9/y²-9=5
3y²-2y+15/y²-9=5
3y²-2y+15=5(y²-9)
3y²-2y+15=5y²-45
2y²+2y-60=0
y²+y-30=0
Корни: y₁=5,y₂=-6. Оба подходят под ОДЗ.
Ответ: -6;5.
в) 4/9y²-1-4/3y+1=5/1-3y
ОДЗ: y≠±1/3. Заметим, что 1-3y=-(3y-1) и 9y²-1=(3y-1)(3y+1).
Перенесем правую часть влево или преобразуем знаки. Удобнее привести все к знаменателю (3y-1)(3y+1):
4/(3y-1)(3y+1)-4(3y-1)/(3y+1)(3y-1)=-5/3y-1
4-(12y-4)/(3y-1)(3y+1)=-5/3y-1
8-12y/(3y-1)(3y+1)=-5(3y+1)/(3y-1)(3y+1)
Приравниваем числители:
8-12y=-15y-5
3y=-13
y=-13/3=-41/3.
Проверка ОДЗ: -41/3≠±1/3. Подходит.
Ответ: -41/3.
г) 4/x+3-5/3-x=1/x-3-1
ОДЗ: x≠-3,x≠3.
Заметим, что 3-x=-(x-3). Тогда -5/3-x=5/x-3.
Уравнение примет вид:
4/x+3+5/x-3=1/x-3-1
Перенесем дроби с x-3 в одну сторону:
4/x+3+4/x-3=-1
Общий знаменатель (x+3)(x-3)=x²-9:
4(x-3)+4(x+3)/x²-9=-1
4x-12+4x+12/x²-9=-1
8x/x²-9=-1
8x=-(x²-9)
8x=-x²+9
x²+8x-9=0
Корни: x₁=1,x₂=-9. Оба входят в ОДЗ.
Ответ: -9;1.
д) 3/x+4/x-1=5-x/x²-x
ОДЗ: x≠0,x≠1. Знаменатель справа x²-x=x(x-1).
Левая часть:
3(x-1)+4x/x(x-1)=3x-3+4x/x(x-1)=7x-3/x(x-1)
Приравниваем к правой части:
7x-3/x(x-1)=5-x/x(x-1)
7x-3=5-x
8x=8
x=1.
Но x=1 не входит в ОДЗ (знаменатель обращается в ноль).
Ответ: корней нет.
е) 3y-2/y-1/y-2=3y+4/y²-2y
ОДЗ: y≠0,y≠2. Знаменатель справа y²-2y=y(y-2).
Левая часть:
(3y-2)(y-2)-y/y(y-2)=3y²-6y-2y+4-y/y(y-2)=3y²-9y+4/y(y-2)
Приравниваем числители:
3y²-9y+4=3y+4
3y²-12y=0
3y(y-4)=0
Корни: y₁=0,y₂=4.
y=0 не входит в ОДЗ. y=4 входит в ОДЗ.
Ответ: 4.

Ответ

а) 3-5;3+5

б) -6;5

в) -41/3

г) -9;1

д) корней нет

е) 4

В пункте в) важно аккуратно работать со знаками при переходе от 1-3y к 3y-1. В пункте г) ключевой момент — замена 3-x на -(x-3) для приведения к общему знаменателю. В пунктах д) и е) необходимо обязательно проверить полученные корни на принадлежность ОДЗ, так как они являются дробно-рациональными уравнениями.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 634 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 634?

Краткий ответ: а) 3-√5; 3+√5; б) -6; 5; в) -4 13; г) -9; 1; д) корней нет; е) 4.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Дробные рациональные уравнения.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.