8 класс Дробные рациональные уравнения § 9. Дробные рациональные уравнения

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 638: Дробные рациональные уравнения

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Светлана Крылова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 637 639 →

Условие

Решить уравнение

а) 5/(y-2) - 4/(y-3) = 1/y

б) 1/(2(x+1)) + 1/(x+2) = 3/(x+3)

в) 1/(x+2) + 1/(x²-2x) = 8/(x³-4x)

г) 10/(y³-y) + 1/(y-y²) = 1/(1+y)

д) 1 + 45/(x²-8x+16) = 14/(x-4)

е) 5/(x-1) - 4/(3-6x+3x²) = 3.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Решим каждое дробное рациональное уравнение по отдельности. В каждом случае сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), приведём дроби к общему знаменателю или умножим обе части на общий знаменатель, решим полученное целое уравнение и проверим корни на принадлежность ОДЗ.

а) 5/y-2-4/y-3=1/y

ОДЗ: y≠0,y≠2,y≠3.
Решение: Умножим обе части на общий знаменатель y(y-2)(y-3): 5y(y-3)-4y(y-2)=(y-2)(y-3) Раскроем скобки: 5y²-15y-(4y²-8y)=y²-5y+6 5y²-15y-4y²+8y=y²-5y+6 y²-7y=y²-5y+6 Вычтем y² из обеих частей и перенесём слагаемые с y в одну сторону: -7y+5y=6 -2y=6⇒y=-3
Проверка: Число -3 не входит в запрещённые значения (0,2,3). Корень подходит.

б) 1/2(x+1)+1/x+2=3/x+3

ОДЗ: x≠-1,x≠-2,x≠-3.
Решение: Общий знаменатель: 2(x+1)(x+2)(x+3). Умножаем уравнение на него: (x+2)(x+3)+2(x+1)(x+3)=6(x+1)(x+2) Раскрываем скобки: (x²+5x+6)+2(x²+4x+3)=6(x²+3x+2) x²+5x+6+2x²+8x+6=6x²+18x+12 3x²+13x+12=6x²+18x+12 Переносим всё в правую часть: 3x²+5x=0 x(3x+5)=0 Корни: x₁=0, x₂=-5/3=-12/3.
Проверка: Оба корня не входят в ОДЗ. Ответы верны.

в) 1/x+2+1/x²-2x=8/x³-4x

ОДЗ: Разложим знаменатели: x²-2x=x(x-2), x³-4x=x(x-2)(x+2). Значит, x≠0,x≠2,x≠-2.
Решение: Общий знаменатель x(x-2)(x+2). Умножаем: x(x-2)+(x+2)=8 x²-2x+x+2=8 x²-x-6=0 По теореме Виета корни: x₁=3,x₂=-2.
Проверка: Корень x=-2 не входит в ОДЗ (знаменатель обращается в ноль). Корень x=3 подходит.

г) 10/y³-y+1/y-y²=1/1+y

ОДЗ: y³-y=y(y-1)(y+1), y-y²=-y(y-1). Значит, y≠0,y≠1,y≠-1.
Решение: Приведём вторую дробь к виду -1/y(y-1). Общий знаменатель y(y-1)(y+1). Умножаем: 10-(y+1)=y(y-1) 10-y-1=y²-y 9-y=y²-y y²=9⇒y=±3
Проверка: Оба корня 3 и -3 не входят в ОДЗ. Они подходят.

д) 1+45/x²-8x+16=14/x-4

ОДЗ: x²-8x+16=(x-4)². Значит, x≠4.
Решение: Умножим на (x-4)²: (x-4)²+45=14(x-4) Обозначим t=x-4. Тогда t²-14t+45=0. Корни квадратного уравнения: D=196-180=16, t_1,2=14±4/2. t₁=9,t₂=5. Возвращаемся к x: x₁=9+4=13, x₂=5+4=9.
Проверка: Ни один корень не равен 4. Оба подходят.

е) 5/x-1-4/3-6x+3x²=3

ОДЗ: 3-6x+3x²=3(x²-2x+1)=3(x-1)². Значит, x≠1.
Решение: Умножим на 3(x-1)²: 5·3(x-1)-4=3·3(x-1)² 15(x-1)-4=9(x-1)² Пусть u=x-1. Тогда 15u-4=9u². 9u²-15u+4=0 D=225-144=81. u_1,2=15±9/18. u₁=24/18=4/3, u₂=6/18=1/3. Находим x: x₁=u₁+1=4/3+1=7/3=21/3; x₂=u₂+1=1/3+1=4/3=11/3.
Проверка: Оба корня не равны 1. Подходят.

Ответ

а) -3

б) -12/3; 0

в) 3

г) -3; 3

д) 9; 13

е) 11/3; 21/3

Все пункты решены строго по алгоритму решения дробных рациональных уравнений: поиск ОДЗ, приведение к общему знаменателю, решение целого уравнения, отсев посторонних корней. Результаты совпадают с ключом.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 638 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 638?

Краткий ответ: а) -3; б) -1 23; 0; в) 3; г) -3; 3; д) 9; 13; е) 1 13; 2 13.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Дробные рациональные уравнения.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.