ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 642: Дробные рациональные уравнения

План решения:

Для графического решения уравнений вида f(x)=g(x) необходимо построить в одной системе координат графики функций y=f(x) и y=g(x). Абсциссы точек пересечения этих графиков будут являться корнями исходного уравнения.

а) Уравнение 6/x=x

Рассмотрим две функции: y₁=6/x (гипербола) и y₂=x (прямая, проходящая через начало координат под углом 45 exto).

• Гипербола y₁=6/x расположена в I и III четвертях. Характерные точки для построения: (1;6),(2;3),(3;2),(6;1) и симметричные им в третьей четверти (-1;-6),(-2;-3) и т.д.
• Прямая y₂=x проходит через точки (0;0),(1;1),(2;2),(3;3).

Находим точки пересечения. В первой четверти гипербола убывает, а прямая возрастает. Очевидно, что при x=6 значения совпадают (6≈2.45). Однако в школьном курсе алгебры часто ищут целочисленные или простые рациональные корни, если они есть. Проверим алгебраически: x²=6, откуда x=±6. На графике это точки (6;6) и (-6;-6). Если требуется точное значение, то ответом являются эти числа. Но обычно в задачах на «решите графически» подразумевается визуальное определение корней. Здесь корни иррациональные. Запишем их точно.

Ответ: x₁=6,x₂=-6.

б) Уравнение 6/x=-x+6

Рассмотрим функции: y₁=6/x (гипербола) и y₂=-x+6 (прямая).

• Гипербола та же, что и в пункте а).
• Прямая y₂=-x+6 пересекает ось OY в точке (0;6) и ось OX в точке (6;0). Также она проходит через точку (2;4) и (3;3).

Ищем точки пересечения гиперболы и прямой. Подставим координаты характерных точек гиперболы в уравнение прямой:

1. Точка (2;3) на гиперболе. Для прямой при x=2: y=-2+6=4. 3≠4, не подходит.
2. Точка (3;2) на гиперболе. Для прямой при x=3: y=-3+6=3. 2≠3, не подходит.
3. Попробуем найти пересечение визуально или решив систему. Алгебраическая проверка: 6/x=-x+6⇒6=-x²+6x⇒x²-6x+6=0. Дискриминант D=36-24=12. Корни x=6±12/2=3±3. Это также иррациональные числа.

Однако, давайте внимательно посмотрим на условие. Возможно, опечатка в ключах или условии? Нет, решаем как дано. Графически мы видим две точки пересечения в первой четверти (так как ветвь гиперболы в 3-й четверти лежит ниже оси X, а прямая y=-x+6 в области отрицательных x дает большие положительные y, пересечений там нет).

Корни уравнения: x₁=3-3, x₂=3+3.

Проверка:

Подставим найденные значения обратно в уравнения. Для пункта а): (6)²=6, верно. Для пункта б): сумма корней по теореме Виета равна 6, произведение 6, что соответствует уравнению x²-6x+6=0, полученному из исходного. Решение корректно.