ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 639: Дробные рациональные уравнения
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Вера Лапина, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Решите уравнения
а) сумма дробей 10/((x-5)(x+1)) и x/(x+1) равна 3/(x-5)
б) разность дробей 17/((x-3)(x+4)) и 1/(x-3) равна x/(x+4)
в) сумма дроби 4/(x+1)^2, вычитаемой дроби 1/(x-1)^2 и дроби 1/(x2-1) равна нулю
г) сумма дробей 4/(9x2-1) и 1/(3x2-x) равна дроби 4/(9x2-6x+1).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для каждого уравнения необходимо найти общую область допустимых значений (ОДЗ), привести дроби к общему знаменателю или умножить обе части на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей. После этого решаем полученное целое рациональное уравнение и обязательно проверяем полученные корни на принадлежность ОДЗ.
а) 10/(x-5)(x+1)+x/x+1=3/x-5
ОДЗ: x≠5, x≠-1. Общий знаменатель: (x-5)(x+1).
Умножаем обе части на (x-5)(x+1):
10+x(x-5)=3(x+1) 10+x2-5x=3x+3 x2-8x+7=0По теореме Виета корни: x1=1, x2=7.
Проверка ОДЗ: оба корня не равны 5 и -1. Ответ подходит.
б) 17/(x-3)(x+4)-1/x-3=x/x+4
ОДЗ: x≠3, x≠-4. Общий знаменатель: (x-3)(x+4).
Умножаем обе части на (x-3)(x+4):
17-1(x+4)=x(x-3) 17-x-4=x2-3x 13-x=x2-3x x2-2x-13=0Находим дискриминант: D=(-2)2-4·1·(-13)=4+52=56.
Корни: x1,2=2±56/2=2±214/2=1±14.
Проверка ОДЗ: 14≈3.74, значит x1≈-2.74, x2≈4.74. Ни один из корней не равен 3 или -4. Ответ подходит.
в) 4/(x+1)2-1/(x-1)2+1/x2-1=0
ОДЗ: x≠-1, x≠1. Заметим, что x2-1=(x-1)(x+1). Общий знаменатель: (x+1)2(x-1)2.
Умножаем обе части на (x+1)2(x-1)2:
4(x-1)2-1(x+1)2+1(x+1)(x-1)=0Раскрываем скобки:
4(x2-2x+1)-(x2+2x+1)+(x2-1)=0 4x2-8x+4-x2-2x-1+x2-1=0 4x2-10x+2=0Сокращаем на 2:
2x2-5x+1=0Дискриминант: D=(-5)2-4·2·1=25-8=17.
Корни: x1,2=5±17/4.
Проверка ОДЗ: 17≈4.12. x1≈0.22, x2≈2.28. Оба корня отличны от 1 и -1. Ответ подходит.
г) 4/9x2-1+1/3x2-x=4/9x2-6x+1
Разложим знаменатели на множители:
- 9x2-1=(3x-1)(3x+1)
- 3x2-x=x(3x-1)
- 9x2-6x+1=(3x-1)2
ОДЗ: x≠0, x≠1/3, x≠-1/3. Общий знаменатель: x(3x-1)2(3x+1).
Умножаем обе части на общий знаменатель:
4x(3x-1)+1(3x-1)(3x+1)=4x(3x+1) 4x(3x-1)+(9x2-1)=4x(3x+1) 12x2-4x+9x2-1=12x2+4x 21x2-4x-1=12x2+4x 9x2-8x-1=0По теореме Виета или через дискриминант (D=64+36=100):
x1,2=8±10/18 x1=18/18=1, x2=-2/18=-1/9Проверка ОДЗ: x=1 и x=-1/9 не входят в запрещенные значения (0,1/3,-1/3). Ответ подходит.
а) 1; 7
б) 1-14; 1+14
в) 5-17/4; 5+17/4
г) -1/9; 1
Решения приведены строго по условию задачи. В пункте (в) учтено, что слагаемое 1/(x2-1) имеет положительный знак перед собой в сумме, равной нулю, то есть оно прибавляется. В пункте (г) внимательно разложены знаменатели на множители для нахождения общего знаменателя.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 639 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 639?
Краткий ответ: а) 1; 7; б) 1-√14; 1+√14; в) 5-√174; 5+√174; г) - 19; 1.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Дробные рациональные уравнения.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.