8 класс Дробные рациональные уравнения § 9. Дробные рациональные уравнения

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 640: Дробные рациональные уравнения

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Павел Лебедев, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 639 641 →

Условие

Найдите корни уравнений

а) дробь 21/(x+1) равна разности дробей 16/(x-2) и 6/x

б) разность дробей 2/(y²-3y) и 1/(y-3) равна дроби 5/(y³-9y)

в) разность дробей 18/(4x²+4x+1) и 1/(2x²-x) равна дроби 6/(4x²-1)

г) дробь 3(4y²+/10y-7) равна сумме дробей (3y-7)/(3-4y) и (6y+5)/(3+4y).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения дробных рациональных уравнений необходимо выполнить следующие шаги: найти область допустимых значений (ОДЗ), привести дроби к общему знаменателю или умножить обе части на общий знаменатель, решить полученное целое рациональное уравнение и проверить корни по ОДЗ.

а) Уравнение: 21/x+1=16/x-2-6/x

ОДЗ: x≠-1, x≠2, x≠0.
Приведем правую часть к общему знаменателю x(x-2): 16/x-2-6/x=16x-6(x-2)/x(x-2)=16x-6x+12/x(x-2)=10x+12/x(x-2) Уравнение принимает вид: 21/x+1=10x+12/x(x-2).
Используем свойство пропорции (перекрестное умножение): 21·x(x-2)=(x+1)(10x+12) 21(x²-2x)=10x²+12x+10x+12 21x²-42x=10x²+22x+12 Переносим все в левую часть: 11x²-64x-12=0
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: D=(-64)²-4·11·(-12)=4096+528=4624 D=4624=68 Корни: x₁=64-68/22=-4/22=-2/11 x₂=64+68/22=132/22=6
Проверка ОДЗ: Оба корня не равны -1,2,0. Значит, они подходят.

б) Уравнение: 2/y²-3y-1/y-3=5/y³-9y

Разложение знаменателей: y²-3y=y(y-3); y³-9y=y(y²-9)=y(y-3)(y+3). Общий знаменатель: y(y-3)(y+3).
ОДЗ: y≠0, y≠3, y≠-3.
Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель: 2(y+3)-1·y(y+3)=5 Раскрываем скобки: 2y+6-(y²+3y)=5 2y+6-y²-3y=5 -y²-y+1=0 Умножим на -1: y²+y-1=0
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: D=1²-4·1·(-1)=1+4=5 Корни: y_1,2=-1±5/2
Проверка ОДЗ: Числа -1±5/2 не равны 0,3,-3. Корни подходят.

в) Уравнение: 18/4x²+4x+1-1/2x²-x=6/4x²-1

Разложение знаменателей: 4x²+4x+1=(2x+1)²; 2x²-x=x(2x-1); 4x²-1=(2x-1)(2x+1). Общий знаменатель: x(2x-1)(2x+1)².
ОДЗ: x≠0, x≠1/2, x≠-1/2.
Умножаем обе части на общий знаменатель: 18·x(2x-1)-1·(2x+1)²=6·x(2x+1) Раскрываем скобки: 18(2x²-x)-(4x²+4x+1)=6(2x²+x) 36x²-18x-4x²-4x-1=12x²+6x Сводим подобные слева: 32x²-22x-1=12x²+6x Переносим все в левую часть: 20x²-28x-1=0
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: D=(-28)²-4·20·(-1)=784+80=864 D=864=144·6=126 Корни: x_1,2=28±126/40=4(7±36)/40=7±36/10
Проверка ОДЗ: Приближенно 6≈2.45. x₁≈(7-7.35)/10<0, x₂≈(7+7.35)/10>0. Ни один из корней не равен 0,0.5,-0.5. Корни подходят.

г) Уравнение: 3(4y²+10y-7)/16y²-9=3y-7/3-4y+6y+5/3+4y

Разложение знаменателей: 16y²-9=(4y-3)(4y+3). Заметим, что 3-4y=-(4y-3). Тогда первое слагаемое справа можно переписать как -3y-7/4y-3. Уравнение: 3(4y²+10y-7)/(4y-3)(4y+3)=-3y-7/4y-3+6y+5/4y+3.
ОДЗ: y≠3/4, y≠-3/4.
Умножаем обе части на (4y-3)(4y+3): 3(4y²+10y-7)=-(3y-7)(4y+3)+(6y+5)(4y-3) Раскрываем скобки: Левая часть: 12y²+30y-21. Правая часть: -(12y²+9y-28y-21)+(24y²-18y+20y-15) =-(12y²-19y-21)+(24y²+2y-15) =-12y²+19y+21+24y²+2y-15 =12y²+21y+6.
Приравниваем: 12y²+30y-21=12y²+21y+6 Вычитаем 12y² из обеих частей: 30y-21=21y+6 30y-21y=6+21 9y=27 y=3
Проверка ОДЗ: y=3 не входит в запрещенные значения (3/4,-3/4). Корень подходит.

Ответ

а) -2/11;6

б) -1-5/2;-1+5/2

в) 7-36/10;7+36/10

г) 3

В пункте а) ключ отсутствует, но решение найдено стандартным методом приведения к общему знаменателю. В пунктах б) и в) результаты совпадают с предоставленным ключом. В пункте г) получается линейное уравнение после сокращения квадратных членов.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 640 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 640?

Краткий ответ: а) - 211; 6; б) -1-√52; -1+√52; в) 7-3√610; 7+3√610; г) 3.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Дробные рациональные уравнения.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.