ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 643: Дробные рациональные уравнения
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Павел Лебедев, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь уравнение 1/x=ax+b, где a и b — некоторые числа. Для каждого случая укажите, каким условиям должны удовлетворять числа a и b.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи построим графики двух функций: y=1/x (гипербола) и y=ax+b (прямая). Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения этих графиков. Рассмотрим возможные случаи в зависимости от коэффициентов a и b.
Случай 1: Прямая не пересекает гиперболу (0 корней).
Это невозможно для линейной функции y=ax+b, так как любая прямая, не параллельная асимптотам координатных осей, будет пересекать обе ветви гиперболы или хотя бы одну из них. Однако, если мы рассматриваем вырожденный случай или специфические положения, то нужно проверить дискриминант. Приведем уравнение к виду ax2+bx-1=0. Дискриминант D=b2-4a(-1)=b2+4a. Если D<0, то нет действительных корней. Но так как b2≥0, то D<0 возможно только при a<-b2/4. В этом случае прямая проходит между ветвями гиперболы, не задевая их. Например, a=-1,b=0⇒y=-x. Уравнение -x=1/x⇒x2=-1, корней нет. Значит, при b2+4a<0 корней нет.
Случай 2: Прямая касается одной из ветвей гиперболы (1 корень).
Это происходит, когда дискриминант равен нулю: D=b2+4a=0. Тогда a=-b2/4. При этом условии прямая является касательной к гиперболе. Например, если b=0, то a=0, но тогда это не гиперболическое уравнение в обычном смысле (или y=0 не пересекает y=1/x). Возьмем b=2,a=-1. Уравнение -x+2=1/x⇒-x2+2x-1=0⇒x2-2x+1=0⇒(x-1)2=0, один корень x=1. Таким образом, при b2+4a=0 уравнение имеет ровно один корень.
Случай 3: Прямая пересекает гиперболу в двух точках (2 корня).
Это происходит, когда дискриминант положителен: D=b2+4a>0. В этом случае квадратное уравнение ax2+bx-1=0 имеет два различных действительных корня. Геометрически это означает, что прямая либо пересекает обе ветви гиперболы, либо дважды пересекает одну ветвь (что невозможно для прямой и гиперболы, кроме случая касания, но здесь D>0). На самом деле, если a≠0, прямая может пересечь обе ветви. Если a=0, то уравнение становится bx=1, откуда x=1/b. Это один корень (при b≠0). Если a=0 и b=0, решений нет. Но в контексте вопроса про ax+b, обычно подразумевается a≠0 для квадратного уравнения. Если же a=0, то это линейное уравнение bx=1, имеющее 1 корень при b≠0 и 0 корней при b=0. Вернемся к случаю a≠0. При b2+4a>0 имеем 2 корня.
Итоговый анализ условий:
1. Два корня , если b2+4a>0 (и a≠0).
2. Один корень , если b2+4a=0 (касание) ИЛИ если a=0 и b≠0 (линейное уравнение bx=1).
3. Нет корней , если b2+4a<0 ИЛИ если a=0 и b=0 (уравнение 0=1).
Уравнение может иметь 0, 1 или 2 корня.
2 корня: b2+4a>0 (при a≠0).
1 корень: b2+4a=0 (при a≠0) или a=0,b≠0.
0 корней: b2+4a<0 (при a≠0) или a=0,b=0.
Решение основано на переходе к квадратному уравнению ax2+bx-1=0 после домножения на x (с учетом ОДЗ x≠0). Корни этого уравнения всегда отличны от нуля, так как свободный член -1≠0. Поэтому количество корней исходного уравнения совпадает с количеством корней полученного квадратного (или линейного при a=0) уравнения.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 643 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 643?
Краткий ответ: Уравнение может иметь 0, 1 или 2 корня. 2 корня: b^2 + 4a > 0 (при a ≠ 0). 1 корень: b^2 + 4a = 0 (при a ≠ 0) или a = 0, b ≠ 0. 0 корней: b^2 + 4a < 0 (при a ≠ 0) или a = 0, b = 0.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Дробные рациональные уравнения.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.