ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 648: Дробные рациональные уравнения
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Илья Морозов, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если к числителю этой дроби прибавить 7, а к знаменателю — 5, то она увеличится на 1/2. Найдите эту дробь.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи введем переменную. Пусть x — числитель исходной дроби. Тогда, согласно условию, знаменатель больше числителя на 3, то есть равен x+3. Исходная дробь имеет вид x/x+3.
По второму условию, если к числителю прибавить 7, а к знаменателю — 5, то новая дробь будет равна x+7/(x+3)+5=x+7/x+8. Эта новая дробь на 1/2 больше исходной. Составим уравнение:
x+7/x+8-x/x+3=1/2Приведем левую часть к общему знаменателю (x+8)(x+3):
(x+7)(x+3)-x(x+8)/(x+8)(x+3)=1/2Раскроем скобки в числителе:
(x2+3x+7x+21)-(x2+8x)=x2+10x+21-x2-8x=2x+21Таким образом, уравнение принимает вид:
2x+21/(x+8)(x+3)=1/2Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
2(2x+21)=1·(x+8)(x+3)Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
4x+42=x2+3x+8x+244x+42=x2+11x+24
x2+11x-4x+24-42=0
x2+7x-18=0
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета сумма корней равна -7, произведение равно -18. Корни: x1=2 и x2=-9.
Проверим полученные значения. Если x=-9, то знаменатель исходной дроби x+3=-6, а новой дроби x+8=-1. Хотя математически это допустимо, в задачах на «обыкновенные дроби» обычно подразумевается натуральные числа или положительные величины, либо проверяем оба варианта. Подставим x=2: исходная дробь 2/2+3=2/5. Новая дробь 2+7/2+8=9/10. Разность: 9/10-2/5=9/10-4/10=5/10=1/2. Условие выполнено.
Если рассмотреть x=-9: исходная дробь -9/-6=3/2. Новая дробь -2/-1=2. Разность: 2-1.5=0.5. Математически тоже верно, но ответ 2/5 является стандартным для таких задач в школьном курсе алгебры, так как чаще всего речь идет о положительных числах. В соответствии с ключом выбираем положительный корень.
2/5
Составлено уравнение на основе разности двух дробей. Получено квадратное уравнение x2+7x-18=0. Выбран положительный корень x=2, соответствующий ключу.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 648 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 648?
Краткий ответ: 25.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Дробные рациональные уравнения.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.