8 класс Дробные рациональные уравнения § 9. Дробные рациональные уравнения

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 650: Дробные рациональные уравнения

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Илья Морозов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 649 651 →

Условие

Найти скорости двух лыжников, прошедших дистанцию 20 км, если один финишировал на 20 минут раньше другого и его скорость была на 2 км/ч выше.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи составим математическую модель. Обозначим скорость второго лыжника через x км/ч. Тогда скорость первого лыжника будет (x+2) км/ч, так как она на 2 км/ч выше.

Время движения определяется по формуле t=S/v. Дистанция S=20 км. Время второго лыжника: 20/x часов. Время первого лыжника: 20/x+2 часов.

Известно, что первый финишировал на 20 минут раньше. Переведем минуты в часы: 20 мин =20/60 ч =1/3 ч.

Составим уравнение:

20/x-20/x+2=1/3

Приведем левую часть к общему знаменателю x(x+2):

20(x+2)-20x/x(x+2)=1/3

Упростим числитель:

20x+40-20x/x²+2x=1/3

40/x²+2x=1/3

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

x²+2x=120

Перенесем все слагаемые в одну сторону и решим квадратное уравнение:

x²+2x-120=0

Найдем дискриминант:

D=b²-4ac=2²-4·1·(-120)=4+480=484

D=484=22

Корни уравнения:

x₁=-2+22/2=20/2=10

x₂=-2-22/2=-24/2=-12

Так как скорость не может быть отрицательной, отбрасываем корень x₂=-12. Таким образом, скорость второго лыжника x=10 км/ч.

Скорость первого лыжника равна x+2=10+2=12 км/ч.

Проверка:

Время второго лыжника: 20/10=2 часа.
Время первого лыжника: 20/12=5/3=12/3 часа, что равно 1 часу 40 минутам.
Разница во времени: 2 ч -1 ч 40 мин =20 мин. Условие выполнено верно.

Ответ

12 км/ч и 10 км/ч

Задача сводится к дробно-рациональному уравнению. Важно правильно перевести единицы измерения времени (минуты в часы). При решении получается квадратное уравнение, один из корней которого является посторонним (отрицательная скорость).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 650 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 650?

Краткий ответ: 12 км/ч и 10 км/ч.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Дробные рациональные уравнения.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.