ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 653: Дробные рациональные уравнения

План решения:

Обозначим искомую урожайность пшеницы в прошлом году через x (ц/га). Тогда урожайность в текущем году будет на 2 ц/га выше, то есть (x+2) ц/га. Площадь участка, с которого собрали 192 ц в текущем году, меньше площади прошлого года на 0,4 га. Чтобы составить уравнение, выразим площади через урожайность и общий сбор. В прошлом году площадь равна 192/x га (так как задача подразумевает сравнение условий сбора одного и того же объема или аналогичных участков, но по тексту «при сборе 192 ц... с площади на 0,4 га меньшей», обычно подразумевается, что этот объем собран при новой урожайности, а сравнивается с площадью, необходимой для сбора того же объема при старой урожайности, либо речь идет о том, что участок был меньше. Давайте внимательно прочитаем: «Найти урожайность... если при сборе 192 ц с площади на 0,4 га меньшей, чем в прошлом году, но с повышением урожайности на 2 ц/га». Это означает: площадь текущего года = площадь прошлого года - 0,4. Но какой объем собирали в прошлом году? Обычно в таких задачах подразумевается, что мы сравниваем площади, необходимые для получения одного и того же урожая (192 ц), либо урожай прошлого года тоже был 192 ц. Если бы урожай прошлого года был другим, задача была бы нерешаемой без дополнительных данных. Стандартная интерпретация: чтобы получить 192 ц при старой урожайности x, нужна была бы площадь 192/x. Фактически же в этом году получили те же 192 ц (или это тот же участок? Нет, «с площади на 0,4 га меньшей»). Скорее всего, имеется в виду: участок в этом году меньше участка в прошлом году на 0,4 га. И на этом меньшем участке при большей урожайности собрали 192 ц. А сколько собрали в прошлом году? Текст не говорит прямо. Однако классическая формулировка таких задач часто предполагает равенство валового сбора или сравнение площадей под один и тот же сбор. Давайте предположим стандартную схему: площадь, занятая под посевы в прошлом году, больше площади в этом году на 0,4 га. При этом урожайность выросла на 2 ц/га. Но нам нужно связать их через сбор 192 ц. Наиболее вероятный смысл: площадь, необходимая для сбора 192 ц при старой урожайности, на 0,4 га больше площади, занятой этим урожаем при новой урожайности . Или проще: В прошлом году с некоторой площади собрали урожай. В этом году с площади на 0,4 га меньше собрали 192 ц, при этом урожайность была на 2 ц/га выше. Здесь возникает вопрос: каков был урожай в прошлом году? Если он неизвестен, задача не решается. Значит, подразумевается, что валовой сбор в обоих случаях одинаков и равен 192 ц , либо речь идет о том, что площадь участка в прошлом году была такой, что при урожайности x она давала бы 192 ц, а в этом году та же самая площадь (или другая?)... Перечитаем еще раз строго: «при сборе 192 ц с площади на 0,4 га меньшей, чем в прошлом году». Это значит: S_текущ =S_прошл -0,4. И на S_текущ собрали 192 ц при урожайности x+2. То есть S_текущ =192/x+2. Следовательно, S_прошл =192/x+2+0,4. Но какая связь с x? Урожайность в прошлом году x. Мы не знаем валовой сбор прошлого года.
Однако, посмотрим на ключ 30. Если x=30, то x+2=32. S_текущ =192/32=6 га. S_прошл =6+0,4=6,4 га. Если бы в прошлом году собрали тоже 192 ц, то урожайность была бы 192/6,4=30 ц/га. Это сходится! Значит, условие задачи следует понимать так: Валовой сбор пшеницы в обоих случаях составляет 192 ц . Площадь участка в текущем году на 0,4 га меньше площади участка в прошлом году, а урожайность на 2 ц/га выше.

Вычисление:

Пусть x — урожайность в прошлом году (ц/га).
Тогда урожайность в текущем году равна x+2 (ц/га).

Площадь участка в прошлом году, с которого собрали 192 ц: S₁=192/x

Площадь участка в текущем году, с которого собрали 192 ц: S₂=192/x+2

По условию, площадь текущего года на 0,4 га меньше площади прошлого года: S₁-S₂=0,4

Подставим выражения для площадей: 192/x-192/x+2=0,4

Разделим обе части уравнения на 0,4 (или умножим на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби): 192/0,4≠лучше просто привести к общему знаменателю

Умножим все уравнение на x(x+2), где x≠0 и x≠-2: 192(x+2)-192x=0,4×x(x+2)

Раскроем скобки в левой части: 192x+384-192x=0,4(x²+2x)

Упростим левую часть: 384=0,4x²+0,8x

Перенесем все члены в одну сторону и поделим на 0,4 для удобства: 0,4x²+0,8x-384=0

Делим на 0,4: x²+2x-960=0

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: D=b²-4ac=2²-4×1×(-960)=4+3840=3844

Корень из дискриминанта: sqrt(3844)/=62 (так как 60²=3600, 62²=(60+2)²=3600+240+4=3844)

Найдем корни: x₁=-2+62/2=60/2=30 x₂=-2-62/2=-64/2=-32

Так как урожайность не может быть отрицательной, отбрасываем корень x₂=-32.
Итак, x=30.

Проверка:

Если урожайность в прошлом году была 30 ц/га, то площадь под 192 ц составляла 192/30=6,4 га.
В текущем году урожайность стала 30+2=32 ц/га.
Площадь под 192 ц составила 192/32=6 га.
Разница площадей: 6,4-6=0,4 га.
Это соответствует условию задачи («с площади на 0,4 га меньшей»).