ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 655: Дробные рациональные уравнения

План решения.

Обозначим количество купленных акций через x. Тогда первоначальная цена одной акции равна 110000/x рублей. Через год цена выросла на 50 рублей, то есть стала 110000/x+50 рублей за акцию. По условию задачи, на сумму роста цены одной акции (то есть на 50 рублей) можно было бы купить на 20 акций меньше, чем всего было куплено. Это утверждение требует внимательного прочтения. Давайте переформулируем: "цена выросла на 50 р. и на эту сумму он мог бы купить на 20 акций меньше". Обычно в таких задачах подразумевается, что новая цена позволяет купить меньшее количество акций на ту же общую сумму затрат, либо речь идет о разнице в количестве акций, которые можно купить на определенную сумму при разных ценах. Однако, давайте посмотрим на стандартную интерпретацию подобных задач про дробные уравнения. Часто формулировка "на эту сумму" относится к общей сумме затрат или какой-то части. Но здесь сказано: "цена выросла на 50 р.". И далее: "и на эту сумму [рост цены? или общая сумма?] он мог бы купить на 20 акций меньше". Если предположить, что "на эту сумму" означает "на общую сумму 110 000 р.", то уравнение будет таким: Количество акций по старой цене: x=110000/P_old Количество акций по новой цене: x-20=110000/P_new Где P_new=P_old+50. Это классическая постановка. Проверим её. Вычисление.

Пусть x — количество купленных акций. Тогда старая цена одной акции: c₁=110000/x. Новая цена одной акции: c₂=c₁+50=110000/x+50. На новую цену c₂ за те же 110 000 рублей можно купить x-20 акций. Составим уравнение для новой цены: c₂=110000/x-20 Подставим выражение для c₂: 110000/x+50=110000/x-20 Разделим обе части уравнения на 10, чтобы упростить числа: 11000/x+5=11000/x-20 Ещё раз поделим на 5: 2200/x+1=2200/x-20 Перенесем слагаемые: 1=2200/x-20-2200/x Приведем правую часть к общему знаменателю x(x-20): 1=2200x-2200(x-20)/x(x-20) 1=2200x-2200x+44000/x(x-20) 1=44000/x²-20x Умножим обе части на (x²-20x): x²-20x=44000 x²-20x-44000=0 Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: D=(-20)²-4×1×(-44000)=400+176000=176400 Корень из дискриминанта: sqrt(D)=sqrt(176400)=420/ (Проверка: 420×420=176400, верно). Найдем корни: x₁=20+420/2=440/2=220 x₂=20-420/2=-400/2=-200 Так как количество акций не может быть отрицательным, отбрасываем корень x₂. Ответ: x=220. Проверка.

Если куплено 220 акций, то старая цена одной акции: 110000/220=500 рублей. Новая цена одной акции: 500+50=550 рублей. На сумму 110 000 рублей по новой цене можно купить: 110000/550=200 акций. Разница в количестве акций: 220-200=20 акций. Условие выполнено: на новую цену можно купить на 20 акций меньше.