ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 658: Дробные рациональные уравнения
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Алексей Широков, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Найти собственную скорость лодки, если путь против течения реки (6 км) занял на 1 час больше, чем путь по озеру (15 км), при скорости течения 2 км/ч.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Обозначим собственную скорость лодки через x км/ч.
- Выразим скорости движения: по озеру (без течения) — x км/ч, против течения реки — (x-2) км/ч.
- Используем формулу времени t=S/v и составим уравнение на основе условия: время пути против течения на 1 час больше времени пути по озеру.
Вычисление:
Время движения по озеру составляет 15/x часов. Время движения против течения составляет 6/x-2 часов.
Согласно условию задачи, разность этих времен равна 1 часу:
6/x-2-15/x=1Приведем к общему знаменателю x(x-2), учитывая ОДЗ: x≠0 и x≠2. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель:
6x-15(x-2)=x(x-2) 6x-15x+30=x2-2x -9x+30=x2-2x x2+7x-30=0Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант найдем корни:
D=72-4·1·(-30)=49+120=169 x1,2=-7±169/2=-7±13/2 x1=6/2=3, x2=-20/2=-10Так как скорость не может быть отрицательной, корень x2=-10 отбрасываем. Также проверим условие существования движения против течения: если x=3, то скорость против течения 3-2=1>0, что допустимо.
Проверка:
Если собственная скорость лодки 3 км/ч:
- Время по озеру: 15/3=5 ч.
- Скорость против течения: 3-2=1 км/ч.
- Время против течения: 6/1=6 ч.
- Разница во времени: 6-5=1 ч.
Условие выполнено верно. Ответ: 3 км/ч.
3 км/ч
Ключ в учебнике (6 или 5 км/ч) неверен для данного текста условия. При подстановке x=6: t_озеро=2.5, t_река=6/(6-2)=1.5, разница 1 час? Нет, 2.5-1.5=1, но в условии сказано 'против течения заняло НА 1 ЧАС БОЛЬШЕ', то есть t_река > t_озеро. Здесь же t_река < t_озеро. При x=5: t_озеро=3, t_река=6/3=2, разница 1 час, снова t_река < t_озеро. Правильный ответ 3 км/ч дает t_река=6, t_озеро=5, разница 1 час в пользу реки.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 658 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 658?
Краткий ответ: 3 км/ч.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Дробные рациональные уравнения.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.