8 класс Дробные рациональные уравнения § 9. Дробные рациональные уравнения

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 661: Дробные рациональные уравнения

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Надежда Фомина, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 660 662 →

Условие

В раствор, содержащий 30 г соли, добавили 100 г воды, из-за чего концентрация снизилась на 1%. Найти первоначальную массу раствора.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Обозначим искомую первоначальную массу раствора за x (в граммах).
Выразим начальную концентрацию соли через массу соли (30 г) и массу раствора (x).
Запишем выражение для новой концентрации после добавления 100 г воды.
Составим уравнение, используя условие о снижении концентрации на 1%, и решим его.

Ход вычислений:

Начальная концентрация соли в растворе равна отношению массы соли к массе всего раствора. Так как масса соли составляет 30 г, а масса раствора — x г, то начальная концентрация равна 30/x.

После добавления 100 г воды масса раствора стала (x+100) г, а масса соли осталась прежней (30 г). Новая концентрация равна 30/x+100.

По условию задачи концентрация снизилась на 1%. В математических задачах на проценты это означает разность между начальной и конечной долями, выраженную в процентах. То есть:

30/x-30/x+100=0,01

Здесь 0,01 — это 1%, переведённый в десятичную дробь. Решим полученное рациональное уравнение. Умножим обе части на общий знаменатель x(x+100), учитывая, что x>0:

30(x+100)-30x=0,01·x(x+100) 30x+3000-30x=0,01(x²+100x) 3000=0,01x²+x

Умножим всё уравнение на 100, чтобы избавиться от десятичной дроби:

300000=x²+100x x²+100x-300000=0

Найдём корни квадратного уравнения по формуле дискриминанта. Дискриминант D=b²-4ac:

D=100²-4·1·(-300000)=10000+1200000=1210000 D=1210000=1100

Корни уравнения:

x₁=-100+1100/2=1000/2=500 x₂=-100-1100/2=-1200/2=-600

Так как масса раствора не может быть отрицательной, отбрасываем корень x₂. Получаем x=500.

Проверка:

Если первоначальная масса раствора 500 г, то начальная концентрация соли: 30/500=0,06=6%.

После добавления 100 г воды общая масса стала 500+100=600 г. Новая концентрация: 30/600=0,05=5%.

Разница в концентрациях: 6%-5%=1%. Это совпадает с условием задачи.

Ответ

500 г

Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 661 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 661?

Краткий ответ: 500 г.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Дробные рациональные уравнения.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.