ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 667: Дробные рациональные уравнения
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Дмитрий Орлов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Доказать равенства
а) сумма дробей 1/11+230 и 1/11-230 равна 22
б) сумма дробей 5+2/5-2 и 5-2/5+2 равна 18.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для доказательства равенств необходимо сложить две данные дроби. В каждом пункте мы будем приводить слагаемые к общему знаменателю, который является произведением исходных знаменателей. Затем упростим числитель и знаменатель, используя формулы сокращённого умножения (разность квадратов) и свойства арифметических действий с корнями.
Решение пункта а)
Нам нужно доказать, что сумма дробей равна 22: 1/11+230+1/11-230=22 Приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен (11+230)(11-230). По формуле разности квадратов (a+b)(a-b)=a2-b2 получаем: (11)2-(230)2=121-4·30=121-120=1 Числитель суммы будет равен сумме перекрёстных множителей: 1·(11-230)+1·(11+230)=11-230+11+230=22 Таким образом, вся сумма равна: 22/1=22 Равенство доказано.
Решение пункта б)
Нам нужно доказать, что сумма дробей равна 18: 5+2/5-2+5-2/5+2=18 Общий знаменатель: (5-2)(5+2). Используем формулу разности квадратов: (5)2-22=5-4=1 Числитель суммы складывается из произведений числителя первой дроби на знаменатель второй и наоборот: (5+2)(5+2)+(5-2)(5-2) Это можно записать как сумму квадратов: (5+2)2+(5-2)2 Раскроем скобки по формулам полного квадрата (a±b)2=a2±2ab+b2: (5+45+4)+(5-45+4) Сгруппируем подобные слагаемые. Слагаемые 45 и -45 взаимно уничтожаются: 5+4+5+4=18 Итак, значение выражения равно: 18/1=18 Равенство доказано.
Проверка:
В обоих случаях знаменатели после приведения к общему виду оказались равны единице благодаря структуре сопряжённых выражений (a+b и a-b). Числители корректно упростились до целых чисел 22 и 18 соответственно, что совпадает с условиями задачи. Ошибок в вычислениях не обнаружено.
а) Доказано
б) Доказано
Задача на применение свойств сопряжённых выражений и формул сокращённого умножения при сложении алгебраических дробей.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 667 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 667?
Краткий ответ: а) Доказано; б) Доказано.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Дробные рациональные уравнения.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.