8 класс Дробные рациональные уравнения § 9. Дробные рациональные уравнения

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 670: Дробные рациональные уравнения

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Вера Лапина, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 669 671 →

Условие

Составить квадратное уравнение, зная его корни

а) (3-1)/2 и (3+1)/2

б) 2-3 и 1/(2-3).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Чтобы составить квадратное уравнение по известным корням x₁ и x₂, воспользуемся обратной теоремой Виета. Искомое уравнение имеет вид:

x²-(x₁+x₂)x+x₁·x₂=0

Нам нужно вычислить сумму корней (S=x₁+x₂) и их произведение (P=x₁·x₂), а затем подставить эти значения в формулу.

а) Корни: 3-1/2 и 3+1/2

Сначала найдем сумму корней:

S=3-1/2+3+1/2=3-1+3+1/2=23/2=3

Теперь найдем произведение корней. Здесь удобно применить формулу разности квадратов (a-b)(a+b)=a²-b²:

P=3-1/2·3+1/2=(3)²-1²/4=3-1/4=2/4=1/2

Подставляем S=3 и P=1/2 в общее уравнение:

x²-3x+1/2=0

Для удобства можно умножить обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

2x²-23x+1=0

Проверка: Дискриминант уравнения 2x²-23x+1=0: D=(-23)²-4·2·1=12-8=4. Корни: x=23±2/4=3±1/2. Совпадает с условием.

б) Корни: 2-3 и 1/2-3

Перед началом упростим второй корень, освободившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение 2+3:

x₂=1/2-3=1·(2+3)/(2-3)(2+3)=2+3/4-3=2+3/1=2+3

Таким образом, корни равны x₁=2-3 и x₂=2+3.

Найдем сумму корней:

S=(2-3)+(2+3)=2+2-3+3=4

Найдем произведение корней (опять используем разность квадратов):

P=(2-3)(2+3)=2²-(3)²=4-3=1

Подставляем S=4 и P=1 в общее уравнение:

x²-4x+1=0

Проверка: Дискриминант уравнения x²-4x+1=0: D=(-4)²-4·1·1=16-4=12. Корни: x=4±12/2=4±23/2=2±3. Это соответствует исходным данным (2-3 и 2+3).

Ответ

а) 2x²-23x+1=0

б) x²-4x+1=0

В пункте б) важно сначала упростить второй корень, избавившись от иррациональности в знаменателе, так как это значительно упрощает вычисление суммы и произведения.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 670 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 670?

Краткий ответ: а) 2x^2 - 2√3x + 1 = 0; б) x^2 - 4x + 1 = 0.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 9. Дробные рациональные уравнения.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.