ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 683
Тема: 29. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Роман Жуков, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Найти все целые решения уравнений
а) xy=2
б) x2-y2=3.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для нахождения целых решений уравнений с двумя переменными будем использовать свойства деления целых чисел. В пункте а) выразим одну переменную через другую и переберем все возможные целые делители свободного члена. В пункте б) разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов, после чего представим правую часть в виде произведения двух целых чисел и решим полученные системы.
Вычисление:
а) Уравнение xy=2. Так как x и y — целые числа, то x должно быть делителем числа 2. Целые делители числа 2: 1,-1,2,-2.
- Если x=1, то y=2/1=2. Решение: (1;2).
- Если x=-1, то y=2/-1=-2. Решение: (-1;-2).
- Если x=2, то y=2/2=1. Решение: (2;1).
- Если x=-2, то y=2/-2=-1. Решение: (-2;-1).
б) Уравнение x2-y2=3. Разложим левую часть на множители: (x-y)(x+y)=3. Пусть a=x-y и b=x+y. Тогда ab=3. Поскольку x и y целые, то a и b тоже целые числа. Возможные пары делителей числа 3: (1;3),(3;1),(-1;-3),(-3;-1). Решим систему для каждой пары: {x-y=ax+y=b⇒{2x=a+b2y=b-a⇒{x=a+b/2y=b-a/2
- Для a=1,b=3: x=1+3/2=2, y=3-1/2=1. Решение: (2;1).
- Для a=3,b=1: x=3+1/2=2, y=1-3/2=-1. Решение: (2;-1).
- Для a=-1,b=-3: x=-1-3/2=-2, y=-3-(-1)/2=-1. Решение: (-2;-1).
- Для a=-3,b=-1: x=-3-1/2=-2, y=-1-(-3)/2=1. Решение: (-2;1).
Проверка:
Подставим найденные пары в исходные уравнения. а) Для (1;2): 1·2=2 (верно). Для (-1;-2): (-1)·(-2)=2 (верно). Остальные аналогично. б) Для (2;1): 22-12=4-1=3 (верно). Для (-2;1): (-2)2-12=4-1=3 (верно). Все решения подходят.
а) (1; 2), (-1; -2), (2; 1), (-2; -1)
б) (2; 1), (2; -1), (-2; -1), (-2; 1)
В пункте б) важно отметить, что сумма и разность целых чисел имеют одинаковую четность, поэтому их произведение (нечетное число 3) гарантирует, что оба множителя нечетные, и система всегда имеет целое решение.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 683 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 683?
Краткий ответ: а) (1; 2), (-1; -2), (2; 1), (-2; -1); б) (2; 1), (2; -1), (-2; -1), (-2; 1).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: 29. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.