ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 687: Уравнения с двумя переменными и их системы
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Мария Волкова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Выясните, имеет ли система решения и сколько
а) {2x - 6y=10, 8y=7-2x}
б) {3x - 12=8y, 1,5x-4y=6}
в) {y=4x, x-8=-6y}
г) {x + y=5, 3x-2y=8}
д) {3 - 3y=4x, -8x=6y-6}
е) {x + 4y=5, x-y+3=0}.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для каждой системы уравнений с двумя переменными мы определим количество решений. Для этого преобразуем оба уравнения к одному виду (например, Ax+By=C) и сравним коэффициенты при переменных и свободные члены.
- Если отношения коэффициентов при x, y и свободных членов равны (A1/A2=B1/B2=C1/C2), то система имеет бесконечно много решений (прямые совпадают).
- Если отношения коэффициентов при x и y равны, но не равны отношению свободных членов (A1/A2=B1/B2≠C1/C2), то система не имеет решений (прямые параллельны).
- Во всех остальных случаях (A1/A2≠B1/B2) система имеет единственное решение (прямые пересекаются).
Вычисление по пунктам:
а) Система: {2x-6y=108y=7-2x Приведем второе уравнение к стандартному виду: 2x+8y=7. Сравниваем коэффициенты первого и второго уравнений: При x: 2/2=1. При y: -6/8=-3/4. Так как 1≠-3/4, прямые не параллельны и не совпадают. Ответ: единственное решение.
б) Система: {3x-12=8y1,5x-4y=6 Перепишем первое уравнение: 3x-8y=12. Второе уравнение уже в виде: 1,5x-4y=6. Умножим второе уравнение на 2, чтобы привести его к тому же виду, что и первое: 2·(1,5x-4y)=2·6⇒3x-8y=12. Мы получили два абсолютно одинаковых уравнения. Это означает, что графики этих уравнений — одна и та же прямая. Ответ: бесконечно много решений.
в) Система: {y=4xx-8=-6y Первое уравнение: 4x-y=0. Второе уравнение: x+6y=8. Сравниваем коэффициенты: При x: 4/1=4. При y: -1/6=-1/6. Так как 4≠-1/6, прямые пересекаются. Ответ: единственное решение.
г) Система: {x+y=53x-2y=8 Коэффициенты при x: 1 и 3. Отношение 1/3. Коэффициенты при y: 1 и -2. Отношение 1/-2=-0,5. Так как 1/3≠-0,5, прямые имеют разные угловые коэффициенты и обязательно пересекутся. Ответ: единственное решение.
д) Система: {3-3y=4x-8x=6y-6 Приведем к стандартному виду Ax+By=C. Первое уравнение: -4x-3y=-3 или умножив на -1: 4x+3y=3. Второе уравнение: -8x-6y=-6 или умножив на -1: 8x+6y=6. Сравним второе уравнение с первым. Разделим второе на 2: 8x/2+6y/2=6/2⇒4x+3y=3. Получили то же самое уравнение, что и в первом случае. Прямые совпадают. Ответ: бесконечно много решений.
е) Система: {x+4y=5x-y+3=0 Перепишем второе уравнение: x-y=-3. Сравниваем коэффициенты: При x: 1/1=1. При y: 4/-1=-4. Так как 1≠-4, прямые пересекаются. Ответ: единственное решение.
Проверка и итог:
Мы проанализировали все шесть систем. В пунктах б) и д) коэффициенты пропорциональны во всех членах уравнений, что указывает на совпадение прямых и бесконечное множество решений. В пунктах а), в), г), е) коэффициенты при переменных не пропорциональны, что гарантирует пересечение прямых в одной точке и наличие единственного решения. Результаты полностью соответствуют ожидаемой структуре ответов для данного типа задач.
а) одно
б) бесконечно много
в) одно
г) одно
д) бесконечно много
е) одно
Задача требует анализа совместности линейных систем. Ключевой метод — приведение к общему виду и сравнение отношений коэффициентов. Пункты б и д являются вырожденными случаями (совпадающие прямые). Остальные пункты имеют уникальное решение.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 687 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 687?
Краткий ответ: а) одно; б) бесконечно много; в) одно; г) одно; д) бесконечно много; е) одно.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.