ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 691: Уравнения с двумя переменными и их системы

План решения:

Для объяснения графического смысла равносильности систем уравнений необходимо проанализировать геометрический смысл каждого уравнения в системе и понять, как алгебраические преобразования (в данном случае сложение уравнений) влияют на расположение прямых на координатной плоскости. Мы сравним множества решений первой и второй систем.

Вычисление и анализ:

Рассмотрим первую систему: {2x-y=5x+y=1 Графиком первого уравнения 2x-y=5 является прямая l₁, а второго x+y=1 — прямая l₂. Решение системы — это точка пересечения этих двух прямых. Найдем её: выразив y из второго уравнения (y=1-x) и подставив в первое, получаем 2x-(1-x)=5⇒3x=6⇒x=2. Тогда y=1-2=-1. Точка пересечения A(2;-1).

Теперь рассмотрим вторую систему: {(2x-y)+(x+y)=5+1x+y=1 Упростим первое уравнение: 2x-y+x+y=6⇒3x=6⇒x=2. Это уравнение задает вертикальную прямую l₃, проходящую через точку с абсциссой x=2. Второе уравнение x+y=1 задает ту же самую прямую l₂, что и в первой системе.

Проверка и вывод:

Найдем решение второй системы. Из первого уравнения имеем x=2. Подставим это значение во второе уравнение: 2+y=1⇒y=-1. Таким образом, решение второй системы — та же самая точка A(2;-1).

Графический смысл: В первой системе мы искали пересечение двух наклонных прямых. Во второй системе одно из уравнений заменили на его линейную комбинацию (сумму с другим уравнением). Геометрически это означает, что новая прямая l₃ (x=2) проходит через ту же точку пересечения A, что и исходные прямые l₁ и l₂. Поскольку вторая система содержит одну неизмененную прямую (l₂) и новую прямую (l₃), которая также проходит через точку A, их пересечением остается та же точка A. Следовательно, системы равносильны, так как они имеют общее единственное решение, видимое на графике как одна и та же точка пересечения.