ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 692: Уравнения с двумя переменными и их системы

План решения.

Сначала определим вид графика первого уравнения y=|x|. Это «уголок» с вершиной в начале координат (0;0), ветви которого идут вверх по лучам y=x (при x≥0) и y=-x (при x<0). Второе уравнение y=kx+b описывает прямую. По условию эта прямая проходит через точку (-3;0). Подставим эти координаты в уравнение прямой, чтобы найти связь между коэффициентами k и b: 0=k·(-3)+bimpliesb=3k. Таким образом, уравнение прямой можно записать как y=kx+3k, или y=k(x+3). Нам нужно подобрать такие значения k, чтобы количество точек пересечения прямой с графиком модуля было равным 2, 1 или 0 соответственно.

Вычисление для каждого пункта.

1) Система имеет два решения. Чтобы прямая пересекала график y=|x| в двух точках, она должна быть «положе» одной из ветвей угла и не проходить через вершину. Угловой коэффициент правой ветви равен 1, левой — -1. Если наклон прямой k находится строго между -1 и 1 (-1<k<1), то прямая будет пересекать обе ветви графика модуля. Возьмем, например, k=0.5. Тогда b=3·0.5=1.5. Прямая y=0.5x+1.5 пересекает ось OY выше нуля и имеет меньший наклон, чем ветвь y=x, поэтому она гарантированно пересечет обе ветви V-образного графика.

2) Система имеет одно решение. Одно решение возможно в двух случаях: либо прямая параллельна одной из ветвей и пересекает другую, либо прямая проходит через вершину графика y=|x|. Рассмотрим случай прохождения через вершину (0;0). Если прямая проходит через начало координат, то b=0. Из условия b=3k следует, что 3k=0, значит k=0. При k=0,b=0 уравнение прямой принимает вид y=0 (ось абсцисс). Ось OX пересекает график y=|x| только в одной точке — вершине (0;0). Это подходит под условие.

3) Система не имеет решений. Отсутствие решений означает, что прямая лежит полностью ниже графика y=|x| (так как |x|≥0) или параллельна одной из ветвей, но смещена так, что не пересекает ни одну из них. Поскольку график y=|x| уходит в бесконечность вверх, а прямая y=k(x+3) всегда проходит через фиксированную точку (-3;0), которая лежит левее вершины, нам нужно, чтобы прямая была круче левой ветви или параллельна ей, но не пересекала правую. Левая ветвь имеет наклон -1. Если мы возьмем k=-1, то прямая станет параллельной левой ветви y=-x. Уравнение прямой: y=-1(x+3)=-x-3. Левая ветвь: y=-x (для x<0). Эти две прямые параллельны и не совпадают (разница в свободном члене -3 против 0), значит, они не пересекаются. Пересекает ли эта прямая правую ветвь y=x? Решим систему y=-x-3 и y=x: x=-x-3⇒2x=-3⇒x=-1.5. Но правая ветвь определена только при x≥0. Точка с x=-1.5 не принадлежит правой ветви. Следовательно, пересечений нет. Значит, при k=-1 имеем b=3(-1)=-3.

Проверка и итоговый ответ.

Подставим найденные коэффициенты обратно в исходные условия для контроля. 1) k=0.5,b=1.5. Прямая y=0.5x+1.5. Пересечение с y=x: x=0.5x+1.5⇒0.5x=1.5⇒x=3 (решение есть). Пересечение с y=-x: -x=0.5x+1.5⇒-1.5x=1.5⇒x=-1 (решение есть). Итого 2 решения. Верно. 2) k=0,b=0. Прямая y=0. Пересечение с y=|x| только в точке x=0. Итого 1 решение. Верно. 3) k=-1,b=-3. Прямая y=-x-3. Как показано выше, пересечений с областью определения ветвей модуля нет. Итого 0 решений. Верно.