ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 688: Уравнения с двумя переменными и их системы
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Надежда Фомина, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
(Для работы в парах.) Имеет ли решения система уравнений и сколько
а) {7x + y=8, x-y+3=0}
б) {6y - 4x=7, 8x-12y=-14}
в) {x - 2y=6, y=-4x?} 1) Обсудите друг с другом, от чего зависит ответ на вопрос задачи.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для каждой системы уравнений с двумя переменными определим количество решений. Мы можем использовать метод подстановки или сравнения коэффициентов при переменных. Если прямые пересекаются — одно решение; если параллельны и не совпадают — нет решений; если совпадают — бесконечно много решений.
а) Система: {7x+y=8x-y+3=0
Выразим y из первого уравнения: y=8-7x. Подставим это выражение во второе уравнение:
x-(8-7x)+3=0 x-8+7x+3=0 8x-5=0⇒8x=5⇒x=5/8Найдем y: y=8-7·5/8=8-35/8=64-35/8=29/8.
Так как мы нашли конкретные значения x и y, система имеет одно решение . Коэффициенты при x (7 и 1) и при y (1 и -1) не пропорциональны, что подтверждает пересечение прямых.
б) Система: {6y-4x=78x-12y=-14
Приведем оба уравнения к стандартному виду ax+by=c:
-4x+6y=7 8x-12y=-14Сравним коэффициенты. Умножим первое уравнение на -2:
(-2)·(-4x+6y)=(-2)·7⇒8x-12y=-14Мы получили точно такое же уравнение, как и второе в системе. Это означает, что обе прямые совпадают. Следовательно, любая точка, лежащая на этой прямой, является решением. Система имеет бесконечно много решений .
в) Система: {x-2y=6y=-4x
Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:
x-2(-4x)=6 x+8x=6 9x=6⇒x=6/9=2/3Найдем y: y=-4·2/3=-8/3.
Получили единственную пару значений (2/3;-8/3). Значит, система имеет одно решение . Прямые имеют разные угловые коэффициенты (1/2 и -4), поэтому они обязательно пересекаются.
Проверка и вывод по пункту 1:
Ответ на вопрос задачи зависит от взаимного расположения графиков уравнений (прямых). Если угловые коэффициенты различны, прямые пересекаются (одно решение). Если угловые коэффициенты равны, но свободные члены различны, прямые параллельны (нет решений). Если все коэффициенты пропорциональны, прямые совпадают (бесконечно много решений).
а) одно решение
б) бесконечно много решений
в) одно решение.
В пункте а) и в) получаем уникальные пары чисел. В пункте б) уравнения эквивалентны после домножения, что указывает на совпадение прямых.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 688 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 688?
Краткий ответ: а) одно решение; б) бесконечно много решений; в) одно решение.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.