ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 698: Уравнения с двумя переменными и их системы
Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Анна Соколова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Изобразив схематически графики уравнений, выяснить, имеет ли решения система уравнений и если имеет, то сколько
а) y=x3, xy=-12
б) y=x2+8, y = -x2+12
в) y=x2+1, xy=3.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Для каждой системы уравнений мы проанализируем графики входящих в неё функций. Первый график — это парабола или кубическая парабола, второй — гипербола или другая парабола. Количество точек пересечения этих графиков и будет соответствовать количеству решений системы.
а) Система: y=x3, xy=-12
- График уравнения y=x3 — кубическая парабола, проходящая через начало координат. Она расположена в I (x>0,y>0) и III (x<0,y<0) четвертях.
- Уравнение xy=-12 можно переписать как y=-12/x. Это гипербола, ветви которой расположены во II (x<0,y>0) и IV (x>0,y<0) четвертях.
- Так как ветви гиперболы находятся во II и IV четвертях, а ветви кубической параболы — в I и III, они не имеют общих точек.
Вывод: система не имеет решений.
б) Система: y=x2+8, y=-x2+12
- График y=x2+8 — парабола с ветвями вверх и вершиной в точке (0;8).
- График y=-x2+12 — парабола с ветвями вниз и вершиной в точке (0;12).
- Вершина первой параболы лежит ниже вершины второй (8<12), при этом первая направлена вверх, а вторая — вниз. Следовательно, эти кривые обязательно пересекутся в двух точках, симметричных относительно оси OY.
- Проверка алгебраически: x2+8=-x2+12⇒2x2=4⇒x2=2⇒x=±2. Для каждого x находим одно значение y.
Вывод: система имеет два решения.
в) Система: y=x2+1, xy=3
- График y=x2+1 — парабола с ветвями вверх и вершиной в точке (0;1). Так как x2≥0, то y≥1 для всех x.
- Уравнение xy=3 задаёт гиперболу y=3/x, ветви которой лежат в I и III четвертях.
- Рассмотрим только I четверть (x>0,y>0), так как в III четверти y<0, а у параболы y≥1. При малых положительных x (например, x→0) значения гиперболы стремятся к бесконечности, а парабола равна 1. Гипербола «выше» параболы. При больших x (например, x=2) парабола y=5, гипербола y=1.5. Парабола «выше» гиперболы. Значит, где-то между ними есть точка пересечения.
- Алгебраическая проверка: подставим y=3/x в первое уравнение: 3/x=x2+1⇒x3+x-3=0. Функция f(x)=x3+x-3 строго возрастает на всей числовой прямой (производная 3x2+1>0). Строго возрастающая функция может иметь только один корень. Поскольку f(1)=-1<0 и f(2)=7>0, корень существует и он единственный.
Вывод: система имеет одно решение.
а) нет решений
б) 2 решения
в) 1 решение
В пункте а) важно отметить расположение ветвей по четвертям. В пункте б) сравнение вершин и направлений ветвей. В пункте в) анализ через монотонность функции или графическое представление пересечения параболы и ветви гиперболы.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 698 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 698?
Краткий ответ: а) нет решений; б) 2 решения; в) 1 решение.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.