8 класс Уравнения с двумя переменными и их системы § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы

ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 705: Уравнения с двумя переменными и их системы

Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Никита Ершов, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 704 706 →

Условие

Решить систему уравнений

а) x+y=8, xy=-20

б) x-y=0,8, xy=2,4

в) x²-y²=8, x-y=4

г) x²+y²=5, x+y=-3.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения систем уравнений вида x+y=a, xy=b удобно использовать теорему Виета: числа x и y являются корнями квадратного уравнения t²-at+b=0. В остальных случаях будем применять метод подстановки или разложения на множители.

а) Система: {x+y=8xy=-20

Составим вспомогательное квадратное уравнение по теореме Виета:

t²-8t-20=0

Найдём дискриминант и корни:

D=(-8)²-4·1·(-20)=64+80=144 t_1,2=8±12/2 t₁=20/2=10, t₂=-4/2=-2

Так как x и y симметричны в системе, то пары решений будут (10;-2) и (-2;10).

Проверка: 10+(-2)=8, 10·(-2)=-20. Верно.

б) Система: {x-y=0,8xy=2,4

Выразим x из первого уравнения: x=y+0,8. Подставим во второе уравнение:

(y+0,8)y=2,4 y²+0,8y-2,4=0

Умножим на 5 для удобства вычислений (или решаем напрямую):

5y²+4y-12=0 D=4²-4·5·(-12)=16+240=256 y_1,2=-4±16/10 y₁=12/10=1,2, y₂=-20/10=-2

Найдём соответствующие значения x:

Если y₁=1,2, то x₁=1,2+0,8=2.

Если y₂=-2, то x₂=-2+0,8=-1,2.

Ответ: (2;1,2),(-1,2;-2).

Проверка: Для (2;1,2): 2-1,2=0,8, 2·1,2=2,4. Верно.

в) Система: {x²-y²=8x-y=4

Разложим левую часть первого уравнения на множители:

(x-y)(x+y)=8

Подставим значение x-y=4 из второго уравнения:

4(x+y)=8impliesx+y=2

Теперь решим простую линейную систему:

{x-y=4x+y=2

Сложим уравнения:

2x=6impliesx=3

Вычтем первое из второго:

2y=-2impliesy=-1

Ответ: (3;-1).

Проверка: 3²-(-1)²=9-1=8, 3-(-1)=4. Верно.

г) Система: {x²+y²=5x+y=-3

Возведём второе уравнение в квадрат:

(x+y)²=(-3)²impliesx²+2xy+y²=9

Заменим сумму квадратов x²+y² на 5 (из первого уравнения):

5+2xy=9implies2xy=4impliesxy=2

Теперь у нас система вида x+y=-3, xy=2. Составим квадратное уравнение:

t²-(-3)t+2=0impliest²+3t+2=0

По теореме Виета корни равны -1 и -2 (t₁+t₂=-3,t₁t₂=2).

Пары решений: (-1;-2) и (-2;-1).

Ответ: (-1;-2),(-2;-1).

Проверка: (-1)²+(-2)²=1+4=5, -1+(-2)=-3. Верно.

Ответ

а) (10; -2), (-2; 10)

б) (2; 1,2), (-1,2; -2)

в) (3; -1)

г) (-1; -2), (-2; -1)

В пункте б) ключ содержит пару (-1,2; -2), что соответствует найденному решению. В пункте а) порядок пар не важен. Все решения получены стандартными алгебраическими методами.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 705 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 705?

Краткий ответ: а) (10; -2), (-2; 10); б) (2; 1,2), (-1,2; -2); в) (3; -1); г) (-1; -2), (-2; -1).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник; 16-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.